Data una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] e un punto [math]\large\bf x_0\in D\left(f\right)[/math] interno in cui la funzione è continua: preso un punto [math]\large\bf x\in D\left(f\right)[/math] in un intorno di [math]\large\bf x_0[/math], si definisce [b]rapporto incrementale[br][/b][center][math]\Large\bf \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}[/math][/center][center]________________________________________________________________________________________________________[/center]
DEFINIZIONI ALTERNATIVE
Data una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] e un punto [math]\large\bf x_0\in D\left(f\right)[/math] interno in cui la funzione è continua: [br][list][*]preso l'incremento [math]\large\bf h\neq0[/math] di [math]\large\bf x_0[/math] si definisce [b]rapporto incrementale[/b][br][center][math]\large\bf \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math][/center][/*][*]preso l'incremento [math]\large\bf \Delta x\neq0[/math] di [math]\large\bf x_0[/math] si definisce [b]rapporto incrementale[/b][br][center][math]\large\bf \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}[/math][/center][/*][/list][br]La corrispondenza delle definizioni si ottiene ponendo [math]\large\bf h=x-x_0[/math] da cui [math]\large\bf x=x_0+h[/math] o [math]\large\bf \Delta x=x-x_0[/math] da cui [math]\large\bf x=x_0+\Delta x[/math][center]________________________________________________________________________________________________________[/center]
ISTRUZIONI
[list][*]Utilizzare la barra di navigazione per passi per vedere in sequenza la costruzione.[/*][*]Quindi avvicinare x a x_0.[/*][/list]
QUESITO 1
Qual è il [b]significato geometrico[/b] di [b]rapporto incrementale[/b]?
Il rapporto incrementale è il [b]coefficiente angolare[/b] della [b]retta secante[/b] il diagramma della funzione nei punti [math]\large\bf \left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math] e [math]\large\bf \left(x,f\left(x\right)\right)[/math].
QUESITO 2
Come diventa la retta secante se si avvicina [math]\large\bf x[/math] a [math]\large\bf x_0[/math] ?
La retta secante tende a diventare retta [b]tangente[/b] in [math]\large\bf x_0[/math].
DEFINIZIONE
Data una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] e un punto [math]\large\bf x_0\in D\left(f\right)[/math] interno in cui la funzione è continua: se esiste finito il limite del rapporto incrementale, ovvero[center][math]\Large\bf \exists^{\mathbb{R}}\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=f'\left(x_0\right)[/math] [/center]si dice che la funzione è [b]derivabile[/b] in [math]\large\bf x_0[/math] e il valore [math]\large\bf f'(x_0)[/math] di tale limite è detto [b]derivata della funzione[/b] in [math]\large\bf x_0[/math]
QUESITO 3
Qual è il [b]significato geometrico[/b] di [b]derivata[/b]?
La [b]derivata della funzione[/b] in [math]\large\bf x_0[/math] è il [b]coefficiente angolare[/b] della [b]retta tangente[/b] il diagramma della funzione nel punto [math]\large\bf \left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math].
DEFINIZIONI ALTERNATIVE
Data una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] e un punto [math]\large\bf x_0\in D\left(f\right)[/math] interno in cui la funzione è continua: se esiste finito il limite del rapporto incrementale, ovvero[br][list][*][center][math]\large\bf \exists^{\mathbb{R}}\lim_{h\to0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=f^{\prime}\left(x_0\right)[/math][/center][/*][*][br][center][math]\large\bf \exists^{\mathbb{R}}\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{df}{dx}\left(x_0\right)[/math][/center][/*][/list][br]si dice che la funzione è [b]derivabile[/b] in [math]\large\bf x_0[/math] e il valore [math]\large\bf f'(x_0)[/math] o [math]\large\bf \frac{df}{dx}\left(x_0\right)[/math] di tale limite è detto [b]derivata della funzione[/b] in [math]\large\bf x_0[/math][center]________________________________________________________________________________________________________[/center]
SIMBOLOGIA
La derivata di funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] in un punto [math]\large\bf x_0\in D\left(f\right)[/math] si rappresenta nei seguenti modi:[br][center][math]\Large\bf f'\left(x_0\right)\qquad y'\left(x_0\right)\qquad\frac{df}{dx}\left(x_0\right)\qquad\frac{dy}{dx}\left(x_0\right)\qquad D\left(f\right)\left(x_0\right)[/math][/center]