[size=85]Egy egységnyi élű kockába az oldallapjait érintő gömböt írunk. Mekkora azoknak a gömböknek a sugara, melyek kívülről érintik a beírt gömböt, és érintik a kocka három oldallapját?[/size]

[size=85]Vizsgáljunk egy síkmetszetet![/size]

[size=85]Érdemesnek tűnik azon elgondolkodni, hogy a [i]P[/i] pontot hogy lehet a GeoGebrával "megszerkeszteni". Miért került ide az idézőjel?[/size]

[size=85]Vizsgáljuk az [i]EBDA [/i]tetraédert![br][/size][size=85][math]m_1=\frac{\sqrt{3}}{3}[/math][/size], [math]V_1=\frac{1\cdot1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/math], [math]A_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2}[/math], [size=85]a beírt gömb sugara [math]\rho_1=\frac{3V_1}{A_1}=\frac{\sqrt{3}\left\langle\sqrt{3}-1\right\rangle}{6}[/math][/size].[br][size=85]Az [i]M [/i]pontra illeszkedő, az [i]EBD [/i]síkkal párhuzamos sík lemetsz a kockából egy az [i]EBDA[/i] tetraéderhez hasonló tetraédert. A hasonlóságuk aránya a magasságaik aránya:[br][math]\lambda=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3\left\langle\sqrt{3}-1\right\rangle}{2\sqrt{3}}[/math][/size].[br][size=85]Az a gömb, amelynek sugarát keressük, ez utóbbi tetraéder beírt gömbje, aminek sugara a hasonlóság miatt:[br][math]\rho_2=\rho_1\cdot\lambda=...=\frac{2-\sqrt{3}}{2}[/math][/size].