[color=#ff0000][size=150]QUANDO L'ESPONENTE NON SI TROVA[/size][/color][br]Nei problemi considerati finora i numeri erano "addomesticati" in modo che alla fine si riuscisse a trovare un esponente che desse il risultato cercato. Ovviamente in un problema reale questo non è sempre possibile, come nel seguente esempio.[br][br][color=#0000ff][b]La mia pagina facebook ha 1250 like, e quando ne avrà 25000 vincerò il premio "reginetto del web". Se ogni mese i like sulla mia pagina triplicano quanto tempo dovrò aspettare?[br][br][/b][/color]La funzione che permette di calcolare il numero di like dopo [math]\large{m}[/math] mesi è piuttosto semplice da trovare:[br][br][math]\Large{L(m)=1250\cdot 3^m}[/math][br][br]Impostiamo l'equazione imponendo il valore finale richiesto ed isoliamo la potenza con l'incognita:[br][br][math]\Large{1250\cdot 3^m = 25000\ \rightarrow \ \frac{1250\cdot 3^m}{\textcolor{red}{1250}}=\frac{25000}{\textcolor{red}{1250}}\ \rightarrow \ 3^m=20}[/math][br][br]Notiamo immediatamente che in questo caso NON riusciamo ad esprimere il [math]\large{3}[/math] ed il [math]\large{20}[/math] come potenze della stessa base, dato che il primo è un numero primo e l'altro è [math]\large{2^2\cdot 5}[/math]. [br][br][b][color=#ff0000]La soluzione del problema è un esponente [math]\large{x}[/math] che applicato al [math]\large{3}[/math] dia come risultato [math]\large{20}[/math]. Come trovarlo?[/color][/b][br][br]È necessario introdurre il concetto di logaritmo; vediamo l'animazione qui sotto.

In qualche modo abbiamo barato: ci serviva [b]l'esponente [math]\large{\overline{x}}[/math] che applicato alla base [math]\large{3}[/math] dà come risultato [math]\large{20}[/math][/b], ma per il momento invece di trovarlo ci siamo accontentati di dargli un nome. Ripercorriamo il ragionamento con più calma. [br][br]Per quello che abbiamo detto sulla funzione esponenziale questo numero [b]esiste[/b]. [br][color=#ff0000]Un modo per trovarlo è andare per [/color][color=#ff0000]approssimazioni successive[/color]. [br]Sappiamo che se [math]\large{3^{\bar{x}}=20}[/math], allora [math]\large{\bar{x}}[/math] deve essere maggiore di [math]\large{\textcolor{blue}{2}}[/math], perchè [math]\large{3^{\textcolor{blue}{2}}=9}[/math] (troppo piccolo) e minore di [math]\large{\textcolor{red}{3}}[/math] , perchè [math]\large{3^{\textcolor{red}{3}}=27}[/math], che è troppo grande. [br][br]Possiamo provare allora con [math]\large{\textcolor{#008800}{2,5}}[/math], ricordandoci il significato di esponenti non interi:[br][br][math]\huge{3^{\textcolor{#008800}{2,5}} = 3^\textcolor{#008800}{\frac{5}{2}} = \textcolor{#008800}{\sqrt{\textcolor{#000000}{3}^5}}\approx 15,5884572681...}[/math][br][br]è ancora troppo poco, proviamo con [math]\large{\textcolor{#008800}{2,7}}[/math][br][br][math]\huge{3^{\textcolor{#008800}{2,7}} = 3^\textcolor{#008800}{\frac{27}{10}} = \textcolor{#008800}{\sqrt[10]{\textcolor{#000000}{3}^{27}}}\approx 19,4190235197}[/math] ancora poco[br][br][math]\huge{3^{\textcolor{#008800}{2,8}} = 3^\textcolor{#008800}{\frac{28}{10}} = \textcolor{#008800}{\sqrt[10]{\textcolor{#000}{3}^{28}}}\approx 21,6740221675}[/math][br][br]adesso è troppo; caliamo un po' e proviamo con [math]\large{\textcolor{#008800}{2,75}}[/math][br][br][math]\huge{3^{\textcolor{#008800}{2,75}} = 3^\textcolor{#008800}{\frac{275}{100}} = \textcolor{#008800}{\sqrt[100]{\textcolor{#0000}{3}^{275}}}\approx 20,5155635125}[/math] ancora leggermente troppo[br][br][math]\huge{3^{\textcolor{#008800}{2,73}} = 3^\textcolor{#008800}{\frac{273}{100}} = \textcolor{#008800}{\sqrt[100]{\textcolor{#0000}{3}^{273}}}\approx 20,069706684}[/math] ancora troppo, ma di poco: proviamo con [math]\large{\textcolor{#008800}{2,725}}[/math][br][math]\huge{3^{\textcolor{#008800}{2,725}} = 3^\textcolor{#008800}{\frac{2725}{1000}} = \textcolor{#008800}{\sqrt[1000]{\textcolor{#0000}{3}^{2725}}}\approx 19,959764787}[/math] ora aumentiamo un po': [math]\large{\textcolor{#008800}{2,728}}[/math][br][math]\huge{3^{\textcolor{#008800}{2,728}} = 3^\textcolor{#008800}{\frac{2728}{1000}} = \textcolor{#008800}{\sqrt[1000]{\textcolor{#0000}{3}}^{2728}}\approx 20,02565744}[/math] dobbiamo calare appena un po'; proviamo [math]\large{\textcolor{#008800}{2,7275}}[/math][br][math]\huge{3^{\textcolor{#008800}{2,7275}} = 3^\textcolor{#008800}{\frac{27275}{10000}} = \textcolor{#008800}{\sqrt[10000]{\textcolor{#0000}{3}^{27275}}}\approx 20,0146602462}[/math][br][math]\Large{\cdots}[/math][br][br]Ci stiamo avvicinando; [b]potremmo continuare così all'infinito e trovare risultati sempre più simili al 20[/b].[br][br]Più che trovare il suo valore esatto forse è più importante [b][color=#ff0000]poterlo definire in modo semplice e diretto[/color][/b] per[br][list][*]poterci riferire a questa quantità in modo semplice[/*][*]poterne studiare in modo agevole le proprietà, come svolgere delle operazioni con essa, etc. [/*][/list][b][color=#0000ff]DEFINIAMO[/color][color=#ff0000] il numero che applicato come esponente al 3 dà come risultato 20 [/color][/b][b][color=#ff0000]come [/color][color=#0000ff]il logaritmo in base 3 di 20[/color][color=#ff0000], e lo rappresentiamo con il simbolo [math]\huge{\textcolor{red}{\log_3{20}}}[/math][/color][/b] [br][br](in modo simile [b]"quel numero che elevato al quadrato dà 2"[/b] lo abbiamo chiamato [b]"la radice di 2"[/b]; sappiamo che vale [i]circa[/i] [math]\large{\approx 1,414213...}[/math], ma invece di utilizzare questo valore approssimato ci riferiamo ad esso usando il simbolo [math]\large{\sqrt{2}}[/math])[br][br]Considerando il caso generale [math]\large{\log_b{A}}[/math], vale la seguente [b][color=#ff0000]nomenclatura[/color][/b]:[br][list][*][b][color=#ff0000][math]\large{b}[/math] è detta BASE del logaritmo[/color][/b][/*][br][*][b][color=#ff0000][math]\large{A}[/math] è il suo ARGOMENTO[/color][/b][/*][/list][ovviamente se associamo una lettera al logaritmo per poterci poi riferire ad esso in seguito, per esempio scrivendo [math]\large{{x}=\log_b{A}}[/math], [math]\large{x}[/math] è il LOGARITMO stesso, quindi non ha bisogno di altri nomi particolari.][br][br][b]Ma quanto vale la soluzione del nostro problema?[/b] Calcolare un logaritmo qualsiasi è un procedimento piuttosto complesso, come calcolare la radice di un numero qualsiasi, e quindi solitamente lo si fa attraverso la calcolatrice. Nel nostro caso si trova [math]\large{\log_3{20} \approx 2,73}[/math], quindi raggiungerò i 25000 like dopo circa 2 mesi e [math]\large{0,73\cdot 30 \approx 22}[/math] giorni.[br][br][color=#ff0000][size=150]FARE CONOSCENZA CON I LOGARITMI[br][/size][/color]Anche se molti logaritmi si ottengono attraverso la calcolatrice, [b]sono elementi molto importanti, bisogna saperli manipolare con disinvoltura ed hanno delle loro proprietà che vanno sapute[/b] - fortunatamente sono [b]strette parenti delle proprietà delle potenze[/b], chi se lo sarebbe mai aspettato, dato che un logaritmo è un esponente?[br][br]Ne riparleremo a tempo debito, ma fin da ora [b]è molto importante imparare a calcolare e riconoscere i più semplici[/b], in modo che il concetto sia ben compreso e saldo. Vediamo alcuni esempi.[br][br][math]\large{\log_\textcolor{#007700}{3}{9}=\textcolor{red}{2}}[/math] perché [math]\large{\textcolor{#007700}{3}^\textcolor{red}{2}=9}[/math][br][math]\large{\log_\textcolor{#007700}{2}{32}=\textcolor{red}{5}}[/math] perché [math]\large{\textcolor{#007700}{2}^\textcolor{red}{5}=32}[/math][br][br][b][color=#0000ff]Visto da un altro punto di vista[/color][/b][br]Un altro modo per vedere il concetto di logaritmo, e quindi per comprenderlo e farlo proprio, è notare che posso riscrivere qualsiasi numero [math]\large{\textcolor{blue}{C}}[/math] in questo modo:[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{C}=\textcolor{#007700}{a}^{\textcolor{red}{log_{a}{C}}}}[/math][br][br]Apparentemente molto complicata, questa scrittura afferma semplicemente che per ottenere un qualsiasi numero [math]\large{\textcolor{blue}{C}}[/math] basta elevare una qualsiasi base [math]\large{\textcolor{#007700}{a}}[/math]... [color=#ff0000]all'esponente che devo dare ad [math]\large{\textcolor{red}{a}}[/math] per ottenere [math]\large{\textcolor{red}{C}}[/math][/color]![br][br]Questa scrittura mette anche in evidenza il fatto che [color=#ff0000]un logaritmo è un esponente[/color], mentre [color=#0000ff]il suo argomento (in questo caso [math]\large{\textcolor{blue}{C}}[/math]) è [il risultato di] una potenza[/color]. [br][br][color=#0000ff][b]Esempi più interessanti[/b][/color][br]Ovviamente è interessante considerare i logaritmi, cioè gli ESPONENTI, un po' particolari legati alle applicazioni delle proprietà delle potenze (inutile dire che le proprietà dei logaritmi e quelle delle potenze sono strettamente collegate); abbiamo quindi che[br][br][math]\large{\log_\textcolor{#007700}{7}{1}=\textcolor{red}{0}}[/math] perché [math]\large{\textcolor{#007700}{7}^\textcolor{red}{0}=1}[/math][br][math]\large{\log_\textcolor{#007700}{2}{0,25}=\log_\textcolor{#007700}{2}{\frac{1}{4}}=\textcolor{red}{-2}}[/math] perché [math]\large{\textcolor{#007700}{2}^\textcolor{red}{-2}=\frac{1}{4}}[/math][br][math]\large{\log_\textcolor{#007700}{0,5}{8}=\textcolor{red}{-3}}[/math] perché [math]\large{\textcolor{#007700}{0,5}^\textcolor{red}{-3}=\left (\textcolor{#007700}{\frac{1}{2}} \right )^\textcolor{red}{-3}=\textcolor{#007700}{2}^\textcolor{red}{3}=8}[/math][br][math]\large{\log_\textcolor{#007700}{9}{3}=\textcolor{red}{\frac{1}{2}}}[/math] perché [math]\large{\textcolor{#007700}{9}^\textcolor{red}{\frac{1}{2}}=\textcolor{red}{\sqrt[2]{\textcolor{#007700}{9}}}=3}[/math][br][br]e così via. [br][br][color=#0000ff][b]Cose utili da saper fare con i logaritmi...[/b][/color][br]Allo stesso modo è utile saper [b][color=#ff0000]stimare un logaritmo[/color],[/b] ad esempio [br][math]\large{\log_\textcolor{#007700}{3}{10}}[/math] è un po' più di [math]\large{2}[/math] perché [math]\large{\textcolor{#007700}{3}^\textcolor{red}{2}=9}[/math] e quindi il [math]\large{3}[/math] ha bisogno di essere moltiplicato "un po' di più" per se stesso per arrivare a [math]\large{10}[/math].[br][br]È altrettanto utile [b][color=#ff0000]saper esprimere un qualsiasi numero come logaritmo in una certa base[/color][/b]. [br][b]ESEMPIO[/b] [br]Prendiamo il numero [math]\large{\textcolor{red}{3}}[/math] e scegliamo una base a caso, [math]\large{\textcolor{#007700}{10}}[/math]. Prova a rispondere a questa domanda: [br][br][math]\large{\textcolor{red}{3}}[/math] può essere visto come il logaritmo in base [math]\textcolor{#007700}{10}[/math] di... ???[br][br]...[math]\large{1000}[/math]! Infatti [math]\large{\textcolor{red}{3}=log_{\large{\textcolor{#007700}{10}}}(1000)}[/math]perché [math]\large{\textcolor{#007700}{10}^\textcolor{red}{3}=1000}[/math][br][br]Ora cambiamo base. Lo stesso [math]\large{\textcolor{red}{3}}[/math] è il logaritmo in base [math]\textcolor{#007700}{4}[/math] di...[br][br]...[math]\large{64}[/math], [math]\large{\textcolor{red}{3}=log_{\large{\textcolor{#007700}{4}}}(64)}[/math]dato che [math]\large{\textcolor{#007700}{4}^\textcolor{red}{3}=64}[/math].[br][br]Si tratta di un altro buon modo per allenarsi con il concetto di logaritmo[br][math]\large{5=\log_{2}(x)\quad x=??? \qquad \longrightarrow \qquad x=32}[/math][br][br][br] [br]

[b][color=#0000ff]La regola di cambio base[/color][/b][br]L'altra applicazione necessaria è [color=#ff0000][b]la regola del cambio base, perché alcune calcolatrici forniscono i logaritmi solo in due basi principali[/b][/color][br][list][b][*]il tasto "log" sottintende la base 10 [/*][/b][*][b]il tasto "ln" (le lettere "ln" indicano Logaritmo Naturale) usa la base [math]\large{e}[/math] - si tratta di un numero irrazionale che vale circa [math]\large{2,718281...}[/math] e che ha importanti proprietà, similmente al [math]\large{\pi}[/math], che scopriremo. [/b][/*][/list][br]Se abbiamo bisogno di un logaritmo in base diversa, come nel nostro problema in cui cercavamo [math]\large{\log_3{20}}[/math], dobbiamo prima cambiargli la base. Vale la seguente equivalenza, che approfondiremo più tardi quando studieremo a fondo i logaritmi:[br][br][math]\Large{\log_\textcolor{red}{a}{\textcolor{blue}{b}}=\frac{\log_c{\textcolor{blue}{b}}}{\log_c{\textcolor{red}{a}}}}[/math][br][br][b]Se abbiamo un logaritmo in una base [math]\large{\textcolor{red}{a}}[/math] e lo vogliamo esprimere usando una nuova base qualsiasi [math]\large{\textcolor{blue}{c}}[/math], basta calcolare il rapporto tra due logaritmi nella nuova base, a numeratore con l'argomento originale [math]\large{b}[/math] ed a numeratore con argomento la vecchia base [math]\large{\textcolor{red}{a}}[/math].[/b][br][br]Ad esempio volendo esprimere [math]\large{\log_3{20}}[/math] in base [math]\large{10}[/math] dovremo fare con la nostra calcolatrice:[br][br][math]\Large{\log_\textcolor{red}{3}{\textcolor{blue}{20}}=\frac{\log_{10}{\textcolor{blue}{20}}}{\log_{10}{\textcolor{red}{3}}}}[/math][br][br]In attesa di dimostrare questa regola, possiamo [i]vedere che funziona[/i]: la applichiamo in casi particolarmente semplici in cui passiamo tra basi che sono legate da una potenza. Ad esempio ci conferma che il valore di [math]\large{\log_9{81}=2}[/math] passando dal logaritmo di [math]\large{81}[/math] in base [math]\large{3}[/math]:[br][br][math]\Large{\log_\textcolor{red}{9}{\textcolor{blue}{81}}=\frac{\log_{3}{\textcolor{blue}{81}}}{\log_{3}{\textcolor{red}{9}}}=\frac{4}{2}=2}[/math][br] [br]