Ein gleichschenkliges Dreieck ABC rotiert um seine Symmetrieachse und erzeugt dabei einen geraden Kreiskegel.[br]Der Axialschnitt ABC des Kegels (gleichschenkliges Dreieck ABC) hat folgende Maße:[br]- Die Grundseite [math]\overline{AB}[/math] hat die Länge [math]|\overline{AB}|=8\,cm[/math].[br]- Die beiden gleich langen Schenkel [math]\overline{AC}[/math] und [math]\overline{BC}[/math] (Mantellinien) haben jeweils die Länge 10,0 cm.[br]- Punkt C ist die Kegelspitze, die Symmetrieachse des Dreiecks ABC ist die Rotationsachse des Kegels.[br]Hinweis: Eine Skizze kann zur Veranschaulichung hilfreich sein, ist aber nicht Teil der Bewertung.[br][br]a) Erkläre in einem Satz, welcher Teil des Dreiecks bei der Rotation die Mantelfläche des Kegels erzeugt.[br]b) Berechne die Höhe h des Kegels.[br]c) Bestimme den Radius r der Grundfläche des Kegels.[br]d) Berechne den Oberflächeninhalt O des Kegels.[br]e) Berechne das Volumen V des Kegels.[br]f) Der Kegel wird durch einen zur Grundfläche parallelen Schnitt in der Höhe [br] h₁ = 6,0 cm (von der Spitze aus gemessen) geteilt.[br] Bestimme mithilfe des Strahlensatzes den Radius r₁ des entstehenden [br] Schnittkreises.
[br]Musterlösung A4: Rotationskegel (gleichschenkliges Dreieck)[br]--------------------------------------------------------------------------------[br]Gegeben:[br][math]|\overline{AB}|=8\,cm[/math] (Durchmesser der Grundfläche)[br][math]|\overline{AC}|=|\overline{BC}|=10\,cm[/math] (Schenkel/Mantellinien)[br][br]a) Erklärung der Mantelfläche[br][br] Bei der Rotation um die Symmetrieachse erzeugen die beiden Schenkel AC [br] und BC die Mantelfläche des Kegels.[br][br][br]b) Berechnung der Höhe h[br][br] Die Höhe h steht senkrecht auf AB und halbiert diese in M (Mittelpunkt).[br] Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck CMB mit:[br] - MB = ½ · AB = ½ · 8,0 cm = 4,0 cm (Kathete, entspricht dem Radius r)[br] - BC = 10,0 cm (Hypotenuse, entspricht der Mantellinie s)[br] - h = CM (gesuchte Kathete)[br] [br] Nach dem Satz des Pythagoras:[br] h² + MB² = BC²[br] h² + (4,0 cm)² = (10,0 cm)²[br] h² + 16,0 cm² = 100,0 cm²[br] h² = 84,0 cm²[br] h = [math]\sqrt{84} \,cm=\sqrt{4 \cdot 21}\,cm=2\sqrt{21}\,cm[/math] [br] h ≈ 9,17 cm[br] [br] Die Höhe des Kegels beträgt h ≈ 9,17 cm.[br][br][br]c) Berechnung des Radius r[br][br] Der Radius r der Grundfläche entspricht der halben Grundseite AB:[br] [br] r = ½ · AB = ½ · 8,0 cm = 4,0 cm[br] [br] Der Radius der Grundfläche beträgt r = 4,0 cm.[br][br][br]d) Berechnung des Oberflächeninhalts O[br][br] Gegeben: r = 4,0 cm; s = AC = 10,0 cm (Mantellinie)[br] Formel: O = π · r² + π · r · s[br] [br] O = π · (4,0 cm)² + π · 4,0 cm · 10,0 cm[br] O = π · 16,0 cm² + π · 40,0 cm²[br] O = π · 56,0 cm²[br] O = 56π cm²[br] O ≈ 175,93 cm²[br] [br] Der Oberflächeninhalt des Kegels beträgt O = 56π cm² ≈ 175,93 cm².[br][br][br]e) Berechnung des Volumens V[br][br] Gegeben: r = 4,0 cm; h = =[math]2\sqrt{21}\,cm[/math] ≈ 9,17 cm[br] Formel: V = ⅓ · π · r² · h[br] [br] V = ⅓ · π · (4,0 cm)² · 2√21 cm[br] V = ⅓ · π · 16,0 cm² · 2√21 cm[br] V = ⅓ · π · 32√21 cm³[br] V = (32√21π)/3 cm³[br] V ≈ 153,88 cm³[br] [br] Das Volumen des Kegels beträgt V = (32√21π)/3 cm³ ≈ 153,88 cm³.[br][br][br]f) Berechnung des Radius r₁ mithilfe des Strahlensatzes[br][br] Der Schnitt erfolgt parallel zur Grundfläche in der Höhe h₁ = 6,0 cm [br] von der Spitze aus gemessen.[br] [br] Nach dem 1. Strahlensatz gilt:[br] h₁ : h = r₁ : r[br] [br] Umgestellt nach r₁:[br] r₁ = r · (h₁/h)[br] [br] Einsetzen der Werte:[br] r₁ = 4,0 cm · (6,0 cm)/(2√21 cm)[br] r₁ = 4,0 cm · 6,0/(2√21)[br] r₁ = 4,0 cm · 3/√21[br] r₁ = 12/√21 cm[br] [br] Rationalisierung des Nenners:[br] r₁ = (12 · √21)/(√21 · √21) cm[br] r₁ = (12√21)/21 cm[br] r₁ = (4√21)/7 cm[br] r₁ ≈ 2,62 cm[br] [br] Der Radius des Schnittkreises beträgt r₁ = (4√21)/7 cm ≈ 2,62 cm.