[size=85][br][table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt#material/ha6eskda][img]data:image/png;base64,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[/img][/url][/td][td] [size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][b]geogebra-books[/b][/color] [br] [url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n][color=#0000ff][u][b]Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ...[/b][/u][/color][/url][color=#0000ff][u][b][/b][/u][/color] ([color=#ff7700][i][b]05.02.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][br][br][center][size=100][b][color=#0000ff]move[/color] [color=#ff0000]z[sub]1[/sub][/color], [color=#ff0000]z[sub]2[/sub][/color], [color=#ff00ff]z[sub]3[/sub][/color], [color=#ff00ff]z[sub]4[/sub][/color][/b][/size][/center][/size]

[size=85]Zu [b][color=#cc0000]4[/color][/b] verschiedenen [b][i][color=#ff0000]Punkten[/color][/i][/b] [math]z_1,z_2,z_3,z_4[/math] in [math]\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}[/math] gibt es eine [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation [/color][/i][/b](gebrochen-lineare Funktion)[br][/size][list][*][size=85] [math]z\mapsto T\left(z\right)=\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d}[/math],[/size][/*][/list][size=85]welche die [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] auf [b][color=#cc0000]4[/color][/b] komplexe [b][i][color=#ff0000]Bild[/color][/i][/b]-[b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math], mit einem geeigneten [math]f\in\mathbb{C}[/math] abbildet.[br]Die [/size][b][size=85][i][color=#ff0000]Bild-Punkte[/color][/i][/size][/b][size=85] liegen punkt-symmetrisch zu den Punkte-Paaren [math]\left\{0,\infty\right\},\left\{1,-1\right\},\left\{i,-i\right\}[/math].[br]Diese Lage nennen wir [b][i][color=#38761d]Normalform[/color][/i][/b] der [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b].[br]Sind die [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] [math]z_1,z_2,z_3,z_4[/math] [b][i][color=#ff00ff]konzyklisch[/color][/i][/b], so liegen die [/size][b][size=85][i][color=#ff0000]Bild-Punkte[/color][/i][/size][/b][size=85] auf einer der Achsen oder auf dem Einheitskreis.[br]Liegen die Punkte spiegelbildlich auf [b][i][color=#cc0000]2[/color][/i][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b], so liegen die Bildpunkte ebenfalls spiegelbildlich [br]auf den Winkelhalbierenden. Man kann sie dann auch spiegelbildlich auf die Achsen legen - auch diese Lage [br]nennen wir [/size][size=85][b][i][color=#38761d]Normalform[/color][/i][/b][/size][size=85].[br]Besitzen die ursprünglichen [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b][/size][size=85] [b][i][color=#0000ff]harmonische Lage[/color][/i][/b], so sind die [/size][b][size=85][i][color=#ff0000]Bild-Punkte[/color][/i][/size][/b][size=85] die Schnittpunkte [br]des Einheitskreises mit den Winkelhalbierenden.[br][br]Zum Nachweis konstruieren wir [b][color=#cc0000]3[/color][/b] paarweise [b][i][color=#0000ff]orthogonale [/color][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] so, dass die ursprünglichen [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b][/size][size=85] zu den Schnittpunkt-Paaren[br]dieser [/size][size=85][b][color=#cc0000]3[/color][/b][/size][size=85] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] punktsymmetrisch im Sinne der [b][i][color=#0000ff]Möbiusgeometrie[/color][/i][/b] liegen.[br][br][size=50]Geometrisch ist diese Konstruktion ziemlich aufwändig. Rechnerisch findet man den Zusammenhang mit Hilfe der [br][b]LIE[/b]-Algebra der [b][i][color=#0000ff]Möbiusgruppe[/color][/i][/b] durch einen sehr einfachen und kurzen Rechenweg (siehe unten!).[br]Die eigentliche Idee sowohl für die Konstruktion als auch für die Berechnung beruht auf dem Prinzip der [b][i][color=#ff00ff]wiederholten Symmetrisierung[/color][/i][/b]![/size][br][br][b][i][u][color=#cc0000]Zur Konstruktion:[/color][/u][/i][/b] Die [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b][/size][size=85] können auf [b][color=#cc0000]3[/color][/b] verschiedene Arten in [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Punkte-Paare[/color][/i][/b] zerlegt werden.[br]Beispielsweise bestimme man zu den [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Punkte-Paaren[/color][/i][/b][/size][size=85] [math]\left\{z_1,z_2\right\},\left\{z_3,z_4\right\}[/math] die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] [math]c_{\left\{123\right\}},c_{\left\{124\right\}}[/math] und deren [br][b][i][color=#1155cc]Winkelhalbierenden-Kreise[/color][/i][/b] [math]cw_{\left\{12\right\}}[/math] und [math]cw'_{\left\{12\right\}}[/math], sowie die Kreise [math]c_{\left\{341\right\}},c_{\left\{342\right\}}[/math] mit den zugehörigen [br][/size][size=85][b][i][color=#1155cc]Winkelhalbierenden-Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] [math]cw_{\left\{34\right\}}[/math] und [math]cw'_{\left\{34\right\}}[/math]. [b][color=#cc0000]2[/color][/b] dieser [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [/size][size=85][b][i][color=#1155cc]Winkelhalbierenden-Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] schneiden sich nicht;[br]zu den beiden anderen [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b][/size][size=85] konstruieren man deren [/size][size=85][b][i][color=#1155cc]Winkelhalbierenden-Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] (im Applet gelb!).[br]Diese Konstruktion läßt sich auf drei verschiedene Arten durchführen, wobei für [/size][size=85][b][color=#cc0000]2[/color][/b][/size][size=85] verschiedene Arten [br]jeweils [/size][size=85][b][color=#cc0000]2[/color][/b][/size][size=85] der entstehenden [/size][size=85][b][i][color=#1155cc]Winkelhalbierenden-Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] identisch sind![br]Es ergeben sich [b][color=#cc0000]3[/color][/b] paarweise [b][i][color=#0000ff]orthogonale[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b]. Deren Schnittpunkt-Paare bilde man mit einer Möbiustransformation[br]ab auf die angegebenen Punktepaare [math]\left\{0,\infty\right\}[/math], [math]\left\{1,-1\right\}[/math] und [math]\left\{i,-i\right\}[/math].[br][br][b][i][u][color=#cc0000]Zur Berechnung:[/color][/u][/i][/b] 2 Punkte (z.B. [math]z_1,z_2[/math] bestimmen ein [b][i][color=#ff0000]elliptisches Kreisbüschel[/color][/i][/b], deren Kreise man als Bahnkurven [br]einer [b][i][color=#0000ff]Möbiusbewegung[/color][/i][/b] ansehen kann. Die zugehörige infinitesimale Bewegung deuten wir kurz als [math]\left(1\wedge2\right)[/math] an.[br]Entsprechend sei [math]\left(3\wedge4\right)[/math] gedeutet. Das [b]LIE[/b]-Produkt [math]\left[\left(1\wedge2\right),\left(3\wedge4\right)\right][/math] gehört zu einer infinitesimalen Bewegung,[br]also [b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbewegung[/color][/i][/b], deren [b][i][color=#ff0000]Büschelpunkte[/color][/i][/b] [b][i][color=#0000ff]harmonisch[/color][/i][/b] zu denen von [math]\left(1\wedge2\right)[/math] und [math]\left(3\wedge4\right)[/math] liegen.[br]Die [b]LIE[/b]-Produkte [math]\left[\left(1\wedge2\right),\left(3\wedge4\right)\right],\left[\left(1\wedge3\right),\left(2\wedge4\right)\right],\left[\left(1\wedge4\right),\left(2\wedge3\right)\right][/math] sind paarweise "[b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b]", was geometrisch[br]bedeutet, dass die [b][i][color=#ff0000]Grundpunkte-Paare[/color][/i][/b] auf [b][color=#cc0000]3[/color][/b] paarweise [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] liegen und die [b][color=#cc0000]4[/color][/b] vorgegebenen [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b][br]zu diesen [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Grundpunkte-Paaren[/color][/i][/b][/size][size=85] [b][i][color=#0000ff]harmonisch[/color][/i][/b], d.h. punktsymmetrisch liegen! [br][/size]