Wir betrachten folgende Funktion f. Zu jeder Zerlegung von [a,b] können wir die Untersumme U und die Obersumme O von f in [a,b] bilden. Die Differenz O-U kann dabei beliebig klein gemacht werden, wenn nur alle Teilintervalle der Zerlegung genügend klein sind. Dies lässt vermuten, dass es genau eine reelle Zahl I gibt, sodass U[math]\le[/math]I[math]\le[/math]O für alle Untersummen und alle Obersummen O von [a,b] gilt. Die auf diese Weise eindeutig festgelegte Zahl I bekommt einen eigenen Namen:[br]Das bestimmte Integral.