* selbstständiges Beweisen von (i)

In diesem Abschnitt steht dir ein Applet zur Verfügung, das dir beim Beweis von (i) helfen soll. Du kannst darin die Zusammenhänge zwischen allen wichtigen Parametern erkunden.
Rechenregeln für Grenzwerte
Gegeben seien konvergente Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]b[/math]. Dann gelten folgende Aussagen:[br][br][b](i) Für jede Konstante [/b][math]c\in\mathbb{R}[/math][b] ist die Folge [/b][math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=c\cdot a[/math][b].[/b][br](ii) Die Folge [math]\left(a_n+b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math].[br](iii) Die Folge [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b[/math].[br](iv) Falls alle [math]b_n\ne0[/math] sind sowie [math]b\ne0[/math] ist, so ist die Folge [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}[/math].[br]
Beweis zu (i)
Nun bist du an der Reihe: Versuche (i) zu beweisen. [b]Schreibe dazu die Abschätzungen der Beträge auf einem separaten Blatt auf.[/b][br]Das Applet kann dir beim Beweis eine Hilfe sein.[br]Vergiss dabei nicht den Fall [math]c=0[/math].
Applet zum Beweis von (i)
1. Fall: c=0
Wie beweist du, dass [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(0\cdot a_n\right)=0\cdot a=0[/math], falls [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\right)=a[/math] ist?
2. Fall: c≠0
Wie muss [math]\rho[/math] gewählt werden, damit [math]|c\cdot a_n-c\cdot a|<\varepsilon[/math] gilt?
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