In diesem Abschnitt steht dir ein Applet zur Verfügung, das dir beim Beweis von (i) helfen soll. Du kannst darin die Zusammenhänge zwischen allen wichtigen Parametern erkunden.
Gegeben seien konvergente Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]b[/math]. Dann gelten folgende Aussagen:[br][br][b](i) Für jede Konstante [/b][math]c\in\mathbb{R}[/math][b] ist die Folge [/b][math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=c\cdot a[/math][b].[/b][br](ii) Die Folge [math]\left(a_n+b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math].[br](iii) Die Folge [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b[/math].[br](iv) Falls alle [math]b_n\ne0[/math] sind sowie [math]b\ne0[/math] ist, so ist die Folge [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}[/math].[br]
Nun bist du an der Reihe: Versuche (i) zu beweisen. [b]Schreibe dazu die Abschätzungen der Beträge auf einem separaten Blatt auf.[/b][br]Das Applet kann dir beim Beweis eine Hilfe sein.[br]Vergiss dabei nicht den Fall [math]c=0[/math].
Wie beweist du, dass [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(0\cdot a_n\right)=0\cdot a=0[/math], falls [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\right)=a[/math] ist?
Der Fall ist relativ schnell abgehandelt, da [math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}=\left(0\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}=\left(0\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] die konstante Nullfolge ergibt. Für ein beliebiges aber festes [math]\varepsilon>0[/math] existiert [math]n_{\varepsilon}=1[/math] mit [math]\forall n\ge n_{\varepsilon}[/math] (also [math]\forall n\in\mathbb{N}[/math]) : [math]|c\cdot a_n-c\cdot a|=|0-0|=0<\varepsilon[/math].
Wie muss [math]\rho[/math] gewählt werden, damit [math]|c\cdot a_n-c\cdot a|<\varepsilon[/math] gilt?
Da [math]|c\cdot a_n-c\cdot a|=|c|\cdot|a_n-a|<|c|\cdot\rho[/math] für alle [math]n\ge n_{\rho}[/math] gilt, muss [math]\rho=\frac{\varepsilon}{|c|}[/math] gewählt werden. Dann gilt für alle [math]n\ge n_{\varepsilon}=n_{\rho}[/math] : [math]|c\cdot a_n-c\cdot a|<|c|\cdot\rho=|c|\cdot\frac{\varepsilon}{|c|}=\varepsilon[/math].
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