Si observamos la gráfica de la función inferior, se puede apreciar como conforme aumenta o disminuya el valor de [math]x_1[/math], varía el valor de [math]f\left(x_1\right)[/math]. Si queremos calcular la diferencia entre dos puntos [math]x_0[/math] y [math]x_1[/math] de la función dada, bastaría con calcular [math]\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)\right|[/math].

[br]Si ahora queremos determinar en qué intervalo se ha producido una mayor variación entre dos valores dados de [math]f\left(x\right)[/math] , debemos averiguar la variación de [math]f\left(x\right)[/math] entre cada unidad del intervalos de los valores dados. Para ello evaluamos el cociente:[br][br] [math]\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0}[/math][br][br]Este tipo de cocientes se define para cualquier función dada. Hablamos entonces de [i]tasa de variación media [/i]de la función en un intervalo limitado por dos valores de la variable [math]x[/math].[br][br]Llamamos [b]tasa de variación media [/b]de la función [math]f[/math] entre [math]a[/math] y [math]b[/math] con [b]TVM [a, b][/b] y la de [math]x[/math] en el intervalo [math]\left[a,b\right][/math], al cociente entre la variación de [math]f\left(x\right)[/math] y la de [math]x[/math] en el intervalo [math]\left[a,b\right][/math][br] [br] [math]TVM\left[a,b\right]=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math][br][br]

Sea la función [math]f[/math], cuya gráfica está representada en la figura inferior, y los puntos [math]P_1=\left(a,f\left(a\right)\right)[/math] y [math]P_2=\left(b,f\left(b\right)\right)[/math].

Hay que observar que el cociente que define la TVM, coincide con la tangente trigonométrica del ángulo [math]\alpha[/math], que es, a su vez, la pendiente de la recta secante a la curva de los puntos [math]P_1[/math] y [math]P_2[/math]. Por lo tanto podemos afirmar:[br][br]La TVM de una función [math]f[/math] en el intervalo [math]\left[a,b\right][/math] coincide con la [b]pendiente de la recta secante[/b] a la gráfica de la función por los puntos [math]\left(a,f\left(a\right)\right)[/math] y [math]\left(b,f\left(b\right)\right)[/math].

[i]Ejemplo:[br][br]Halla la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función[/i] [math]f\left(x\right)=x^3[/math] [i]en los puntos de abscisa[/i] [math]x=2[/math] [i]y [/i][math]x=4[/math].[br][br]Debemos calcular la TVM de [math]f[/math] en el intervalo [math]\left[2,4\right][/math]:[br][br] [math]TVM\left[2,4\right]=\frac{f\left(4\right)-f\left(2\right)}{4-2}=\frac{64-8}{2}=28[/math][br][br]

La TVM de una función nos informa acerca de su variación en un intervalo, pero no nos da información precisa sobre la variación en un punto. Para ello se precisa de un nuevo concepto la [i]tasa de variación instantánea[/i] o [i]derivada[/i] de la función [math]f[/math].[br][br]Llamamos [b]derivada [/b]de la función [math]f[/math] en el punto de abscisa [math]x=a[/math] al límite, [b]si existe[/b]:[br][br] [math]TVI\left(a\right)=f'\left(a\right)=\lim_{\left\{x\to a\right\}}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}[/math][br][br]Se puede observar que si hacemos [math]h=x-a[/math], se tiene [math]x=a+h[/math]. Ademá, si [math]x[/math] tiende a [math]a[/math], la diferencia [math]h=x-a[/math] tiende a [math]0[/math], por tanto:[br][br] [math]f'\left(a\right)=\lim_{\left\{h\to0\right\}}\frac{f\left(h+a\right)-f\left(a\right)}{h}=\lim_{\left\{\Delta x\to0\right\}}\frac{\Delta f}{\Delta x}[/math][br]

Cuando [math]\Delta x[/math] tiende a [math]0[/math] se tiene, es decir, cuando [math]P_2=\left(b,f\left(b\right)\right)[/math] se acerca a [math]P_1=\left(a,f\left(a\right)\right)[/math]:[br][br]- La recta secante se aproxima a la recta tangente en [math]P_1[/math].[br]- La TVM tiende a la derivada de [math]f[/math] en [math]x=a[/math].[br][br]Luego podemos afirmar que:[br][br]La [b]derivada [/b]de una función [math]f[/math] en el punto de abscisa [math]x=a[/math] es la [b]pendiente[/b] de la recta [b]tangente[/b] a la gráfica de la función en el punto [math]\left(a,f\left(a\right)\right)[/math].[br]

Si recordamos la ecuación punto-pendiente de una recta:[br][br] [math]y-y_0=m\left(x-x_0\right)[/math][br][br]donde [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] es un punto de la recta y [math]m[/math], su pendiente. Dado que nos da la pendiente de la recta tangente a [math]f[/math] en el punto [math]\left(a,f\left(a\right)\right)[/math] , se tiene:[br][br] [math]y-f\left(a\right)=f'\left(a\right)\left(x-a\right)\quad\rightarrow\quad y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)[/math][br][i][br]Ejemplo:[br][br]Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función [math]f\left(x\right)=3x-x^2[/math] en el punto de abscisa [math]x=2[/math].[br][br][/i]La ecuación de la recta tangente será: [math]y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)[/math] [b] [1][/b]. Calculamos:[br][br][br] [math]f\left(2\right)=3\cdot2-2^2=6-4=2[/math] [br][br][br] [math]f'\left(2\right)=\lim_{\left\{h\to0\right\}}\frac{f\left(h+2\right)-f\left(2\right)}{h}=\lim_{\left\{h\to0\right\}}\frac{3\left(h+2\right)-\left(h+2\right)^2-2}{h}=[/math][br][br] [math]\lim_{\left\{h\to0\right\}}\frac{6+3h-4-4h-h^2-2}{h}=\lim_{\left\{h\to0\right\}}\frac{-h-h^2}{h}=[/math][br][br] [math]\lim_{\left\{h\to0\right\}}\frac{h\left(-1-h\right)}{h}=\lim_{\left\{h\to0\right\}}\left(-1-h\right)=-1[/math][br][br]Sustituimos en [b][1] [/b]los valores obtenidos:[br][br] [math]y=-1\left(x-2\right)+2\quad\rightarrow\quad y=4-x[/math][br][br]Vemos a continuación la gráfica de la función [math]f[/math] y la recta tangente en el punto [math]\left(a,f\left(a\right)\right)[/math]:

a derivada de una función [math]f[/math] en un punto de abscisa [math]x=a[/math] nos da como resultado un número real. Podemos, por tanto, considerar una nueva función, [math]f'[/math], que asigne a cada punto de la abscisa [math]x[/math] el valor de la derivada de [math]f[/math] en ese punto:[br][br] [math]f'\left(x\right)=\lim_{\left\{h\to0\right\}}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}[/math][br][br]La función así definida recibe el nombre de [b]función derivada[/b] de [math]f[/math] o, simplemente,[b] derivada[/b]. A partir de la definición, podemos obtener las derivadas de las funciones elementales:[br][br] [math]f\left(x\right)=x^n\quad\rightarrow\quad f'\left(x\right)=\lim_{\left\{h\to0\right\}}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\lim_{\left\{h\to0\right\}}\frac{\left(x+h\right)^n-x^n}{h}=[/math][br][br] [math]\lim_{\left\{h\to0\right\}}\frac{x^n+\binom{\left\{n\right\}}{1}x^{n-1}h+\ldots+\binom{\left\{n\right\}}{n}h^{\left\{n\right\}}-x^n}{h}=[/math][br][br] [math]\lim_{\left\{h\to0\right\}}\left(nx^{n-1}+\binom{\left\{n\right\}}{2}x^{n-2}h+\ldots+h^{n-1}\right)=nx^{n-1}[/math][br][br]Por tanto para cualquier función potencial, tenemos:[br][br] [math]f\left(x\right)=x^n\quad\rightarrow\quad f'\left(x\right)=nx^{n-1}[/math][br][br]Del mismo modo, a través de la definición de derivada, podemos obtener las derivadas del resto de funciones elementales:[br][br] [math]f\left(x\right)=k\quad\rightarrow\quad f'\left(x\right)=0[/math][br][br] [math]f\left(x\right)=\log_a\left(x\right)\quad\rightarrow\quad f'\left(x\right)=\frac{1}{x}\frac{1}{\log_e\left(a\right)}[/math][br] [br] [math]f\left(x\right)=a^x\quad\rightarrow\quad f'\left(x\right)=a^x\log_e\left(a\right)[/math][br][br] [math]f\left(x\right)=\text{sen}\left(x\right)\quad\rightarrow\quad f'\left(x\right)=\cos\left(x\right)[/math][br] [br] [math]f\left(x\right)=\cos\left(x\right)\quad\rightarrow\quad f'\left(x\right)=-\text{sen}\left(x\right)[/math][br][i][br]Ejemplo:[br][br]Calcula las siguientes derivadas:[br][br]a) [math]f\left(x\right)=\sqrt{\left\{x\right\}}[/math][br][br]b) [math]g\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math][br][br]c) [math]h\left(x\right)=\log_e\left(x\right)[/math][br][/i][br][br]a) [math]f'\left(x\right)=\left(\left(x^{\frac{1}{2}}\right)\right)'=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2\sqrt{\left\{x\right\}}}[/math][br][br]b) [math]g'\left(x\right)=\left(x^{-1}\right)'=-x^{-1-1}=-x^{-2}=\frac{-1}{x^2}[/math][br][br]c) [math]h'\left(x\right)=\frac{1}{x}\frac{1}{\log_e\left(e\right)}=\frac{1}{x}\frac{1}{1}=\frac{1}{x}[/math][br][br]

En la figura inferior se pueden visualizar la gráfica de la función [math]f[/math] y su derivada [math]f'[/math]. La función [math]f[/math] dispone de un triángulo rectángulo que nos muestra la pendiente de su gráfica y el valor de está, [math]m[/math]. Debemos fijarnos que la pendiente [math]m[/math] coincide con la distancia del eje de abscisas a la gráfica de la función derivada [math]f'[/math]. Realiza pruebas con distintas funciones y comprueba que se cumple del mismo modo.

Si observamos en comportamiento del signo de la función derivada [math]f'[/math], podemos determinar la monotonía de [math]f[/math], es decir su crecimiento o decrecimiento, como se muestra en la siguiente figura: