[size=100][b]Raum und Form[/b] ist eine der Leitideen der Bildungsstandards. Dennoch spielt die klassische Raumgeometrie in der Sekundarstufe I nur noch eine Nischenrolle und wird meist auf eine Formelsammlung für Oberfläche und Volumen reduziert.[br][br]Hier wird eine wenig bekannte elementare  Anwendung der Raumgeometrie vorgestellt, die auch fachübergreifend mit Chemie thematisiert werden kann: die Modellierung der Gestalt von Kristallen. [br]Dazu wird mit GeoGebra die Durchdringung zweier Würfel mit gemeinsamer Diagonalen dynamisch visualisiert, mit elementaren raumgeometrischen Überlegungen mathematisiert und kristallographisch illustriert. [br]Zusätzlich wird noch der Schnitt von zwei Tetraedern und der Schnitt von Würfel und Oktaeder vorgestellt. [br][br]Die Durchdringung zweier Körper ist ein wichtiges und zugleich elementares mathematisches Modell zur Erklärung der Gestalt bestimmter Kristalle. Hier gibt es eine morphologische Sicht auf die[i] äußere Gestalt[/i], keine molekulare Sicht auf das [i]innere [/i]Kristallgitter (d.h. es wird nicht das [i]Wachstum[/i] im molekularen Sinne modelliert). Speziell geht es um die Durchdringung zweier Würfel mit gemeinsamer Diagonalen, was typisch für Bergkristall und Fluorit ist.[br][br]Mit GeoGebra kann dazu der Drehwinkel des zweiten Körpers gesteuert werden. Dabei entdeckt man eine besondere Lage, die dann im Folgenden weiter untersucht wird. Die Untersuchung von Schnittkörper oder Differenzkörper ist hier ohne vektorielle Geometrie elementar auf dem Niveau der Raumgeometrie Klasse 9 und 10 möglich. [br][br][b]Für weitere Ausführungen siehe Literatur, [url=https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/37321/1/BzMU18_ELSCHENBROICH_Kristalle.pdf]Elschenbroich (2018)[/url] und [url=https://www.geogebra.org/resource/dnbs9qyj/lbvm7ns1zO7XBZZ2/material-dnbs9qyj.pdf]Elschenbroich (2019)[/url].[/b][/size]

[b]Aufgabe 1[/b][br][br]Bestimmen Sie Grundfläche und Volumen einer ‚überstehenden‘ Pyramide, wenn der Grundwürfel die Kantenlänge a hat.[br][br][i]Tipp:[br]Beim Volumen bietet es sich an, als Grundfläche das kleine rechtwinklig gleichschenklige Dreieck mit den Katheten a/2[/i][i] zu wählen. Dann hat man als Höhe die Kantenlänge a des Würfels.[br][/i][br][br][b]Aufgabe 2[/b][br][br]Bestimmen Sie Oberfläche, Volumen und Höhe der inneren Doppelpyramide.[br]

[b]Aufgabe [/b][br]         [br]Wie erhält man aus dem Ursprungs-Tetraeder das zweite Tetraeder? [br]Welche Gestalt hat dann der Durchschnitt, von welchen Flächen wird er begrenzt? [br][br][i]Tipp: Kongruenzabbildungen.[/i][br]

[b]Aufgabe[/b][br][br]Wie erhält man hier aus dem Ursprungs-Würfel der Kantenlänge a das Oktaeder? [br][br][i]Tipp: Ebenen konstruieren und schneiden.[/i][br][br]Welche Gestalt hat dann der Durchschnitt, von welchen Flächen wird er begrenzt? [br]Wie groß ist sein Volumen im Vergleich zum Tetraeder-Volumen bzw. Würfel-Volumen?[br][br][br]

[size=150][b][size=100]Zum Lesen:[/size][/b][/size][br][br]Elschenbroich, H.-J. (2018) [url=https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/37321/1/BzMU18_ELSCHENBROICH_Kristalle.pdf]Raumgeometrie konkret: Von Kristallen und Polyedern[/url]. [br]In: Beiträge zum Mathematikunterricht 2018, S . 501 - 504 .[br][br]Elschenbroich, H.-J. (2019): [url=https://www.geogebra.org/m/ekEJVwvd#material/armpjcqc]Modellierung der Gestalt von Kristallen[/url]. In: MNU Journal 2/2019, S. 98 -102.[br][br]Offermann, E. (1992): Bergkristalle besser verstehen. extraLapis, 3, 42−51. [br][br][size=200][size=150][b][size=100]Zum Basteln:[/size][/b][/size][br][/size]Pöppe, C.: Kartonbausätze für geometrische Körper. [url=http://www.poeppe-online.de/]www.poeppe-online.de[/url] [br][br]Walser, H.: [url=http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Origami_im_Raum2/Origami_im_Raum2.htm]Origami im Raum[/url]. [br]

[size=100][br][color=#980000][b]On the Top[/b][br][br]Differenzialrechnung: [url=https://www.geogebra.org/m/QxeVkgpf]Die Funktionenlupe[br][code][/code][br][/url]Integralrechnung: [url=https://www.geogebra.org/m/gfFc49CN]Der Integrator[br][/url][br]Corona-Pandemie, Modellierung: [url=https://www.geogebra.org/m/cfammtpe]Mathematik & Modellbildung[/url] und [url=https://www.geogebra.org/m/yf9szkan]Zuverlässigkeit von Corona Tests[/url] [br][br][/color][br][br][b]Videos[br][/b][br][url=https://www.geogebra.org/material/edit/id/hqrw9kew]Dynamische Arbeitsblätter. Mit Prof. B. Rott[/url] [br][br][url=https://www.geogebra.org/m/s4ufndbm]Satz des Thales und des Pythagoras. Mit Prof. B. Rott[/url][br][br][url=https://www.youtube.com/watch?v=fdrv_teMfts&t=96s]Anschauliche Differenzialrechnung, Funktionenlupe Teil 1[/url][br][br][url=https://www.youtube.com/watch?v=v1Lf1eei5qU&t=175s]Anschauliche Differenzialrechnung, Funktionenlupe Teil 2[/url][br][br][br][b][br]Dynamisch Mathematik erkunden[/b][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/a2bxt8xd]Innenwinkel & Außenwinkel[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/dvuxcvfe]Satz des Thales[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/xrvx5p99]Satz des Pythagoras[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/kbkn537r]Inkreis und Umkreis[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/eywjhg63][br]Sinus und Tangens[/url] [br][br][url=https://www.geogebra.org/m/mr8utcxb]Quadratische Funktionen[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/fdxxxpug]Wurzeln und Wurzelfunktion[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/ad64mcn4]Anschauliche Differenzialrechnung[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/e2tk3bru]Anschauliche Integralrechnung[/url] [br][br][br][br][b]Geometrie 2D[/b][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/grvqn6ed]Rund ums Pentagramm[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/rpehagzw]Visualisierung zum Goldenen Schnitt[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/hZXNwgBP]Variationen zum 'Rätsel der Woche' aus Spiegel online[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/yUpWswU7]Umkreist von Kreisen[/url][br][br]MU 6/2017: [url=https://www.geogebra.org/m/S9BD7bFt]Perspektivwechsel und Entdeckungen mit dynamischer Software[/url][br][br][br][b][br]Geometrie 3D[br][/b][br][url=https://www.geogebra.org/m/mmpd8yeq]Kegelschnitte dynamisch erkunden[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/bm8ybev6]Dodekaeder-Stern von Paulliac[/url][br][br]MNU 2/2019: [url=https://www.geogebra.org/m/ekEJVwvd]Modellierung von Kristallen[br][br][/url]Projektionsverfahren: [url=https://www.geogebra.org/m/CxyTKS3v]Perspektive? Ansichtssache[/url]![br][br][br][b]Arithmetik[br][/b][br][url=https://www.geogebra.org/m/vmgvpkup]Brüche erkennen 1[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/ct9xbskf]Brüche erkennen 2, Kreisteile[br][/url][br][br][br][b]Funktionen[/b][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/sjhdhwan]Scheitelpunktform und Nullstellen[/url][br][br][size=150]ml 187: [url=https://www.geogebra.org/m/D9MwHus2#chapter/13547]Quadratische Funktionen dynamisch untersuchen[/url][br][br][/size][size=150]MatheWelt 187. Elschenbroich & Seebach: [url=https://www.geogebra.org/m/y87athww]Funktionen unter der Lupe[/url][/size][br][br][br][br][b]Modellbildung[br][/b][br]Corona-Pandemie: Mathematik & Modellbildung und [url=https://www.geogebra.org/m/yf9szkan]Zuverlässigkeit von Corona Tests[/url] [/size][br][br]Von der Änderung zu Bestand: [url=https://www.geogebra.org/m/kGp8dnfp]Modellieren mit dem Kumulator[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/htAvaYg2]Intuitiv modellieren mit dem Kumulator[/url][br][br][br][b]Analysis[br][/b][br][url=https://www.geogebra.org/m/mntk36dv]Das Funktionenmikroskop[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/QxeVkgpf]Die Funktionenlupe[br][/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/fvapyfwa]Die Unendlichkeitslupe[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/hymsqdyg][br]Leibniz Calculus[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/gfFc49CN]Der Integrator[br][/url][br]ICME 13, TSG 16: [url=https://www.geogebra.org/m/pGKnMH7d]A visual approach to calculus[/url][br][br]GeoGebra Gathering G2: [url=https://www.geogebra.org/m/FkiJoLEY]Function Loupe[/url][br][br]MatheWelt 187. Elschenbroich & Seebach: [url=https://www.geogebra.org/m/y87athww]Funktionen unter der Lupe[/url] [br][br][br][b][br]Allgemein[/b][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/tde33heb]Beiträge zur Digitalisierungsdiskussion[/url][br][br]MU 6/2017: [url=https://www.geogebra.org/m/S9BD7bFt]Perspektivwechsel und Entdeckungen mit dynamischer Software[/url] [br][br][br][b][br][b]Alle öffentlichen Aktivitäten finden Sie unter [url=https://www.geogebra.org/u/elschenbroich]www.geogebra.org/u/elschenbroich[/url] .[/b][br][br][br][/b]Zusätzlich gibt es etliche nicht-öffentliche Books, die nur per Link für Teilnehmer von Workshops und Fortbildungen zugänglich sind.[br][br][br]Es gibt auch einen Link zur Erstveröffentlichung der Funktionenlupe (Elschenbroich, Seebach & Schmidt) in ml 187 und MatheWelt 187, die vom Friedrich Verlag, Anne Hilgers, hochgeladen worden ist. [br][br]Desweiteren gibt es ein Book zum [i]mathematik lehren Themenheft [/i][b]Elschenbroich & Seebach: Funktionen erkunden[/b]. Der Zugangslink befindet sich im [url=https://www.friedrich-verlag.de/shop/funktionen-erkunden-1840004-17802][i]mathematik lehren Themenheft[/i][/url]. [br][br]Als Teil einer Autorengruppe von MNU:[br]Heintz et alt. (2017): [url=https://www.geogebra.org/m/ffkqscre][b]Werkzeugkompetenzen - Kompetent mit digitalen Werkzeugen Mathematik betreiben[/b][/url]. MNU, Medienstatt.[br]