ここで直角三角形の斜辺の数に着目して計算してみよう。[br]この数は偶数と奇数の平方数から求めることができる。⇒下の表[br][br]①斜辺の数は必ず二つの平方数の和であらわされる。（なぜだろう？）[br]　例えば５＝１＋４，１３＝４＋９，２０＝４＋１６，・・・[br]②斜辺の数には素数も出てくる。[br]　５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・[br]　この素数はどういう素数だろうか？[br]③そうすると「[b]４で割ると１余る素数は二つの平方数の和で組み立てられる[/b]」[br]　ということが予想される。[br][br]これはフェルマーの「二平方定理」とも言われている　⇒　[url=https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%80%8B%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%92%8C]二個の平方数の和 - Wikipedia[br][/url]フェルマーはこうやって発見したのではないか。[br]

[url=http://hamaguri.sakura.ne.jp/Pythagoreantriple.htm][b][size=150]ピタゴラス数[/size][/b][/url]　　この方法（グノモンを使った）では、出てこないピタゴラス数がある。例えば２９。[br]　　　　　　　　　⇒【[url=https://www.geogebra.org/m/XUjDX2A2#material/hmfk44vx]すべてのピタゴラス数[/url]】[br][br]なお上の表で偶数の場合のピタゴラス数で、２，１０，２６，５０，８２，・・・について、[br]これは平方数も偶数であり、斜辺のピタゴラス数も偶数なので、もう一つのピタゴラス数も偶数となって[br]２で約分できるので既約ではない。よってこれは除く。[br]これ以外のピタゴラス数は４で割ると必ず１余る。[br]その証明は、[br]ａ[sup]２[/sup]＋ｂ[sup]２[/sup]＝ｃ[sup]２[/sup]は、偶＋偶＝偶では既約でないので、奇＋遇＝奇の場合しかない。[br]一方（ｍ[sup]2[/sup]－ｎ[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]＋(２ｍｎ)[sup]2[/sup]＝(ｍ[sup]2[/sup]＋ｎ[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]　なので、ｍとｎは偶数と奇数[br](２ｍ)[sup]2[/sup]＋(２ｎ＋１)[sup]2[/sup]＝４ｍ[sup]2[/sup]＋４ｎ[sup]2[/sup]＋４ｎ＋１＝４(ｍ[sup]2[/sup]＋ｎ[sup]2[/sup]＋ｎ)＋１となり４で割ると１余る。[br]よって、[br]既約な直角三角形の斜辺のピタゴラス数は、平方数の和であり、４で割ると１余る。[br]この数の中には素数があるので、ピタゴラス数になる素数にも当てはまる。[br]では逆に「[b]４で割ると１余る素数は平方数の和であらわされる[/b]」のではないだろうか？[br]これがフェルマーが予想した「直角三角形の基本定理」。[br]