- Mennyi?[br]- Nyolcvan![br]- Mi nyolcvan?[br]- Mi mennyi?

A fenti - talán tapintatlan - régi viccel és egy közös fejtörésünk felidézésével köszöntöm itt és most örökifjú barátomat Németh József [b]T[/b]anár urat (nagy [b]T[/b]) az iménti számmal jelzett születésnapja alkalmából. [br][br]Kedves Jóskám! Sok szeretettel köszöntelek, megjegyezve, hogy a születésnapok jó hatással vannak az ember egészségére, ezért továbbra is igyekezzünk belőlük minél többet összegyűjteni. :-)[br][br]Régi-régi barátsággal:[br] Szilassi Lajos

A szép matematikai problémák - ha nem is jönnek szembe az utcán - többnyire mégsem tudjuk őket kikerülni. Talán azért, mert nem is nagyon szeretnénk.[br]Egyszer szembe jött [url=https://www.wikidata.org/wiki/Q4520761]I. F. Sharygin [/url]cikke: ([url=https://static.nsta.org/pdfs/QuantumV8N6.pdf]Quantum July/August 1998[/url], p.:33-37) A cikk a bemutatott feladatok "megoldásait" is tartalmazza. Hamarosan kiderül, mi indokolja az idézőjelet.[br]Ebben a cikkben több szép geometriai probléma is jött szembe, bár az alábbi nem tartozik ezek közé. [br]Mégsem tudtunk kitérni előle. :-)

Ez a megoldás hihetőnek tűnik, csakhogy . . . [br][br] . . . próbáljunk[i] x[/i] helyére - az egyszerű számolás kedvéért - 1/2-et vagy 1/4-et írni![br][br]Ez indokolta az idézőjelet! Az alábbi appletet vizsgálva kiderül, hogy a fenti rajz függvényeihez nem ezek a képletek tartoznak. Az is, hogy a két függvény monotonitása nem elegendő ahhoz, hogy csak egy közös pontjuk legyen.

... a fenti appletben a csúszkával vezérelt paramétertől miként függ az [color=#0000ff][b]f(x)[/b][/color] és [b][color=#ff0000]g(x)[/color][/b] függvény metszéspontjainak a száma. [br]Mivel e két függvény egymás inverze, elegendő a [i][b](0,x[sub]A [/sub])[/b] [/i]intervallumot elemeznünk, ahol [i][b]x[sub]A[/sub] [/b][/i] az [i][b]A[/b][/i] az [i][b][color=#0000ff]f(x)[/color][/b], [color=#ff0000][b]g(x)[/b][/color][/i] és a[b] [u]t(x)=x[/u][/b] függvények közös pontja,[b][color=#6d9eeb]e[/color][/b][sub][b][color=#6d9eeb]f(x)[/color][/b][color=#1e84cc] [/color][/sub] és [b][color=#ff00ff]e[/color][sub][color=#ff00ff]g(x)[/color] [/sub][/b][color=#333333]az exponenciális és logaritmus függvény [b]A[/b]-beli érintője.[br][br][/color]Ha a[b] [i](0,x[sub]A[/sub])[/i] [/b]intervallumon [color=#ff0000][b][i]e[sub]g(x)[/sub][/i][/b] [/color]"alatta halad" [color=#0000ff][b][i]e[sub]f [/sub][/i][/b][/color]-nek, akkor az [b]A[/b] pont [b]0A [/b]környezetében [color=#ff0000][b]g(x)[/b][/color] is alatta halad [color=#0000ff][b][i]e[sub]fx) [/sub][/i][/b][/color]-nek, így [b][i][color=#0000ff]f(x[/color])[/i][/b] -nek is. Ugyanakkor [color=#0000ff][b][i]f(x)[/i][/b][/color] metszi az [b]y[/b] tengelyt, [color=#ff0000][b][i]g(x)[/i][/b][/color] nem, így e két függvénynek valahol egy [b][i]A[/i][/b]-tól különböző [b]B[/b] pontban is metszeniük kell egymást, ahol[b] x[sub]B[/sub]A[/b] . [br][br]Mivel [b][i][color=#6d9eeb]e[sub]f(x)[/sub] [/color][/i][/b]és [b][i][color=#ff00ff]e[sub]g(x)[/sub][/color][/i][/b]-is tengelyesen tükrösek [b][i]t(x)[/i][/b]-re, ezért a fenti állapot[i] igaz/hamis[/i] állapota akkor változik, ha [b][i][color=#6d9eeb]e[sub]f(x)[/sub]=[/color][/i][color=#ff00ff][i]e[sub]g(x)[/sub][/i][/color][/b][sub] [/sub][color=#333333], vagyis, ha mindkettő merőleges [i][b]t[/b][/i]-re. [br][/color]A mai technikai lehetőségek birtokában, a fenti applet mozgatásával könnyű erre az eredményre jutnunk, de az ezredforduló idején . . . [br][br]. . . e sorok írója ezt az - idézőjel nélküli - megoldást vehette kézbe, amelynek itt és most csak az első sorait mutatja be - nem kis büszkeséggel:

. . .ha már tudjuk, hogy mit [u]kell[/u] kapnunk.

Minden füllentés (hamis bizonyítás) akkor hihető, ha közel áll az igazsághoz. Ez most is így van:[br]az [b]a=e[sup]-e [/sup]≈ 0.065988[/b] , miközben [b]1/16 = 0.0625. [/b]Például[b] a=1/16 [/b]esetben az [b]A [/b]ponthoz tartozó érintők szöge[color=#333333] [b]([i]e[/i][sub]f(x)[/sub],[/b][b][i]e[sub]g(x)[/sub])∢[b][i]≈0.58°[/i][/b][/i][/b][/color][br][br]Nagy galádság ilyen feladattal fárasztani a gyanútlan ifjakat. Bár - mivel senki nem szereti, ha becsapják - , az ilyen problémák felkelthetik azok érdeklődését is, akiket egyébként egy-egy exponenciális függvény nem igazán tud lázba hozni.[br][br]Ha egy "jó" tanár arra szánja rá magát, hogy ilyesmivel traktálja az ugyancsak jó, érdeklődő tanítványait, helyes, ha van másik, hasonló "probléma" is a tarsolyában. Például az alábbi.

Hány megoldása van az [b]x[sup]4[/sup]=2[sup]x [/sup][/b]egyenletnek? [br][br]A probléma gyanútlan megoldója kézenfekvő módon lerajzolja az egyenlet két oldalának megfelelő függvényeket, erről leolvassa a "helyesnek vélt" választ: [b]kettő. [br][/b]Csakhogy. . . a gyanakvóbbaknak, óvatosabbaknak, alkalmasint felkészültebbeknek eszébe juthat, hogy bármely exponenciális függvény meredekebben tart a végtelenbe minden polinom függvénynél. Ez jelen esetben is így van: a nem is túl nagy [b]x=16 [/b]érték ugyancsak kielégíti az egyenletet.

A fenti appletben az X tengelyen mozgatható [b]M[/b] pont aktuális színe mutatja, hogy az adott [b]x[sub]M[/sub][/b] abszcisszájú ponthoz melyik függvény ordinátája a nagyobb. Ezzel akár ki is lehet "tapogatni", hogy van-e az egyenletnek további gyöke. [br][br]A gyökök pontos, vagy közelítően jó megközelítése most nem tartozik a feladathoz, bár - jobb híján -[url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/ShHRmcPW] az oroszlánfogás módszerével [/url]ez viszonylag könnyen megoldható. De erre most nincs szükségünk, A GeoGebrába beépített eljárás alkalmas arra, hogy a két függvény pozitív abszcisszájú metszéspontjait meghatározza, akkor is ha az egyik történetesen exponenciális függvény. Bár... ha az[b] f(x)[/b] hatványkitevője egész, akkor az értelmezési tartománya kiterjed a negatív számokra is, és ha páros is az egyenletnek jól láthatóan van egy negatív gyöke is, bár ezt csak mi látjuk a GeoGebra nem. Egyelőre.[br][br]Ha "szabad a gazda", a [b]?[/b] jelű jelölőnégyzet megmutatja az egyenlet [u]pozitív[/u] gyökeit. Nagyon érdeklődő felkészült olvasók - mint pl. N.J. - a [b]?? [/b]jelölőnégyzettel azt is megtudhatják, hogy hogyan kaptuk ezt az eredményt.[br][br]Az appletben egy-egy csúszkával adhatjuk meg mind az[color=#ff0000] [b]f(x)= x[sup]a[/sup][/b] polinomot[/color], mind a [color=#0000ff][b]g(x)=b[sup]x[/sup] [/b]exponenciális függvényt [/color]meghatározó [b][color=#ff0000]a[/color][/b] ill. [b][color=#0000ff]b[/color][/b] paramétert. [br][br]A dinamikus geometriai programok - például a fenti - alkalmazásával felvetődhetnek olyan kérdések, amelyeket éppen ezek a - jelenesetben - [color=#ff0000][b]2[/b]≤a≤[b]20[/b][/color][b] ([/b][color=#333333]egész) és [b]1[/b][/color][color=#0000ff][b].1≤b≤10 [/b][/color][color=#333333](0.1 pontosságú ) lépésenként beállítható [/color][color=#333333]értékek között változtatható paraméterek megválasztása ad a kezünkbe. Például:[br][/color][list][*]Van-e több olyan [b](a,b) [/b]számpár, amely ugyanazokat a pozitív gyököket állítja elő?[/*][*]Kísérletképpen becsüljük meg, hogy az eléggé szélsőséges [b][color=#ff0000]a=20[/color][/b], [b][color=#0000ff]b=1.1[/color][/b] esetben vajon mekkora lehet az egyenlet nagyobbik pozitív gyöke, és nagyságrendileg mekkora a metszéspont ordinátája?[/*][*]Milyen [b](a,b) [/b]számpárhoz tartozik egy (azaz két egybeeső) pozitív gyök, és mikor nincs pozitív gyöke az egyenletnek? Leírható-e egy függvénnyel az ilyen [b]a [/b]és [b]b[/b] paraméterek közötti kapcsolat?[/*][/list][color=#333333]A problémakör bővítésével további kérdéseket tehetünk fel magunknak - és másoknak - azzal, hogy pl. [/color][color=#ff0000][b]f(x)[/b] [/color][color=#333333]helyére egy általánosabb függvényt írunk.[/color]

Aki a fenti applet vizsgálata közben eljutott a[b] ?? [/b]jelölőnégyzet bekapcsolásáig, olyan matematikai képletekkel találkozott, amelyekkel a GeoGebra megadta az [b]x[sup]a[/sup]=b[sup]x[/sup][/b][sup][b] [/b] [/sup]egyenlet pozitív megoldásait. [br]Mi ez a képlet? Mit kell(ene) tudni róla? [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Lambert-f%C3%A9le_W-f%C3%BCggv%C3%A9ny]Erre itt kapunk némi magyarázatot.[br][br][/url]Ebből röviden az derül ki, hogy a könnyen ábrázolható [b] y=x e[/b][sup][b]x[/b] [/sup]függvény inverze - az [b]x=y e[/b][sup][b]y[/b] [/sup]függvény, amelyből az eddigi eszköztárunkkal nem fejezhető ki [b] y[/b]. Ezért az inverz függvény megadására új [u]jelölést [/u]kellett kitalálni. Többnyire az [b]y=W(x)[/b] jelölést használja a matematikai szakirodalom, amelyre a GeoGebra az [b]y=LambertW(x) [/b]jelölést alkalmazza. Mivel az [b]y=x e[/b][sup][b]x [/b][/sup]függvény megadása, lerajzolása nem okoz nehézséget a GeoGebra számára, így várhatóan az inverzét is le tudja rajzolni, tudja használni.

Könnyen belátható, hogy az [b][color=#980000]s(x)=x e[/color][/b][sup][b][color=#980000]x[/color][/b] [/sup]függvénynek minimum helye van az [i]x=-1[/i] pontban ( amelynek az értéke [i]-1/e )[/i], így az [b][color=#980000]s(x)[/color][/b] függvény inverze a [i]-1/e[/i][i]≤ x[/i] értelmezési tartományon vett[b][color=#0000ff] f(x)=LambertW(x)[/color][/b] függvény, Az [i]x[/i][i]≤-1[/i] esetben az [color=#980000][b]s(x)[/b][/color] inverze egy [i]-1/e≤x<0[/i] értelmezési tartományon megadott függvény, amelyet a GeoGebra [b][color=#ff0000]g(x)=LambertW(x,-1)[/color][/b] képlettel ír le.[br][br]Ha a GeoGebra ezt tudja, akkor tegyünk egy próbát. Vajon meg tudja-e oldani az egyenletünket általánosan, numerikus értékek használata nélkül. Erre a GeoGebra CAS - Computer Algebra System - alkalmazását hívjuk segítségül. [url=https://www.geogebra.org/m/baj8tfgj]Erről itt olvashatunk bővebben[/url].

Amint látjuk, a GeoGebra CAS alkalmazás készségesen megoldja a problémánkat.[br]Előbb óvatosan "arra gondol", hogy ha az [b]a[/b] paraméterre vonatkozóan nincs információnk, előfordulhat, az [b]a[sup]x [/sup][/b] kifejezés nem értelmezett a valós számok halmazán. Ezért "csak" azt a két gyököt adta meg eredményül, amely pozitív [b]a[/b] és tetszőleges [b]x[/b] esetben jöhet létre. Egyik esetben az előző rajzon kapott [b][color=#0000ff]f(x)=LambertW(x)[/color][/b] függvénybe, másik esetben a [color=#ff0000][b]g(x)=LamvertW(x,-1)[/b] -[/color][color=#333333]be helyettesítve adta meg az [/color][b][color=#ff0000]a[/color][/b][color=#333333] és [/color][b][color=#0000ff]b[/color][/b][color=#333333] paraméterekből kapott kifejezés értékét.[/color][br]Ha az [i]a<0[/i] eset miatti aggályát eloszlathatjuk azzal, hogy [b]a[/b] helyett [b]abs(a)[/b] -t írunk a parancssorba, egyből négy megoldást kapunk.[br][br]Miután megkaptuk általánosan is az egyenletünk gyökeit, anélkül hogy a programnak minden esetben újra kellene számolnia azokat, elegendő e képletekbe behelyettesíteni az [b][color=#ff0000]a[/color][/b] és [b][color=#0000ff]b[/color][/b] paraméter aktuális értékeit.

Remélhetően sokunkat - így e sorok íróját is - zavarja, ha egy matematikai probléma megoldása - pontosabban: végeredménye - úgy bukkan elő, mint ahogy egy bűvész elővarázsolja [url=https://acta.bibl.u-szeged.hu/64235/1/tudomanyos_es_muveszeti_muhelymunkak_370-374.pdf]a nyuszit az üres cilinderből[/url], a nagyérdemű publikum legnagyobb ámulatára. [br][br]Milyen fogásokra - ügyeskedésre, bűvészkedésre - lehet szükségünk ahhoz, hogy ezeket a képleteket magunk is felírhassuk?[br][br] Mit kérdezne [url=https://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/wp-content/uploads/2014/11/gond.pdf]Pólya György[/url]? [i] "Nem találkoztál már a feladattal? Esetleg a mostanitól kissé eltérő formában?"[/i][br]Még nem, de találkozhattunk volna.[br] [br]Meglepően sok YouTube videó akad, amely ezekre a fogásokra szeretne bennünket megtanítani:[br][url=https://www.youtube.com/watch?v=mVcMAuyPh-o]5x +15=5^x[/url] ,  [url=https://www.youtube.com/watch?v=rPAa38VlUUU]10x=2^x[/url] , [url=https://www.youtube.com/watch?v=mJwfpcXwYRU&t=82s]-x+5=2^x[/url] , [url=https://www.youtube.com/watch?v=ZqgTzx68qDU]7x=5^(2 x)[/url]  , [url=https://www.youtube.com/watch?v=N7vxdd2uZfo]30-x=3^x[/url] , [url=https://www.youtube.com/watch?v=ndA0sF_0Rwk]x^2= 2^x[/url] , [url=https://www.youtube.com/watch?v=tOPVVOjgx5w]x^5 = 9^x[/url] , [url=https://www.youtube.com/watch?v=606rieyH8g8]x^5= 8^x[/url] [br][br]Ezeknek néha kellemes, akár fejben is kitalálható gyökei (is) lehetnek . Mindössze egy előadó kezdi a megoldást azzal, hogy lerajzolja a kiválasztott egyenlet két oldalának megfelelő függvényt. (De azon mód le is törli.) Körültekintő diszkusszióról egyáltalán nem esik szó. Ezek a megoldások lényegében ugyanazt a "fogást " sulykolják. (Ugyancsak Pólya szerint:[i] "A módszer olyan fogás, amit kétszer alkalmazunk.[/i]" )[br][br]Ha egy egyenlet exponenciális függvényt, és valamilyen polinomot is tartalmaz, igyekezzünk azt [b]p(x)e[sup]p(x)[/sup]=k[/b] alakra hozni, ahol [b]k[/b] az egyenlet paramétereiből (konstansaiból) álló kifejezés, és [b] p(x)[/b] -ből elemi eszközökkel kifejezhető [b]x[/b]. Ugyanis mivel [b]LambertW(p(x)e[sup]p(x)[/sup])=p(x)[/b], az egyenlet átírható [b]p(x)=LambertW(k)[/b] alakba, amiből már kibonthatjuk [i]x[/i]-et. [br][br]Ez valóban igényel némi ügyeskedést, feladatmegoldói rutint. Ezen túlmenően szem előtt kell tartanunk, hogy mindkét [b]LambertW()[/b] függvény értelmezési tartománya és értékkészlete is korlátozott. [br]

...így most is. Lássuk tehát a részelteket.[br][br]Oldjuk meg "kézzel", számítógép alkalmazása nélkül, de a LambertW() függvény(ek) ismeretében - [br]az [b]|x|[/b][sup]a[/sup][b]=b[sup]x[/sup] [/b] egyenletet, ahol [i]0 < a és 1 < b ![br][br][/i][list=1][*]Az |x| feltételt oldjuk fel azzal, hogy külön foglalkozunk előbb a [i]0< x[/i] esettel! Ekkor:[br][b]x[sup]a[/sup]=b[sup]x[/sup][/b][/*][*] Vegyük az egyenlet mindkét oldalának az[b] e[/b] alapú logaritmusát: [br][b]a ln(x) = x ln(b)[/b][/*][*]Rendezzük az egyenletet x-re:[br]l[b]n(x)/x=ln(b)/a [/b][/*][*]Mivel [i]ln(x)= -ln(1/x)[/i] [u],[/u] így [i]ln(x)/x=-ln(1/x) e[sup]ln(1/x)[/sup][/i] így: [br][b]ln(1/x) e [sup]ln(1/x)[/sup]=-ln(b)/a[/b][/*][*]Vegyük mindkét oldal mindkét LambertW() függvényét és használjuk ki a [br][i]LambertW(p(x) e[sup]p(x)[/sup])=p(x) [/i]összefüggést: [br][b]ln(1/x)=LambertW(-ln(b)/a-1) [br]ln(1/x)=LambertW(-ln(b)/a)[/b][/*][*][color=#333333]Tekintsük az egyenlet mindkét oldalát egy [/color][b]e[/b][color=#333333] alapú hatvány kitevőjének,[br]majd vegyük minkét oldal reciprokát: [br][/color][color=#ff0000][b]x=e[sup]-LambertW(-ln(b)/a,-1) [/sup][/b][/color][color=#333333][br][/color][color=#38761d][b]x=e[/b][/color][color=#38761d][b]-LambertW(-ln(b)/a) [/b][/color][color=#333333][br][/color][color=#333333]Ezzel megkaptuk az egyenlet pozitív gyökeit.[/color][color=#333333][br][/color][/*][/list][color=#333333]Mivel mindkét LambertW() függvény értelmezési tartománya a [i]-1/e[/i]-nél nagyobb számok halmaza, az így kapott képletek csak akkor eredményeznek - pozitív - valós számokat, ha [i]-1/e≤-ln(b)/a.[/i][br]Ezzel választ kaptunk arra a kérdése is, hogy a két pozitív gyök akkor esik egybe, ha [i]1/e=-ln(b)/a [/i],[br] pl. [b]a=e ln(b).[/b] [br][/color][list][*]Visszatérve az x<0 esetre, az 1. lépésben |x| helyére -x et kell írnunk. [br]Mivel most [i]-x[/i] pozitív, így létezik a logaritmusa:[br][b]a ln(-x)=(-x) ln(b).[/b] [/*][*]Ebből: [br][b] ln(-x) (-x)[sup]-1[/sup]=ln(b)/a.[/b][/*][*][color=#333333] a 3. lépésben, mivel [i]ln(-x)= -ln(-1/x):[/i][br] [/color][b] (-ln(-1/x)) e[sup]-ln(-1/x)[/sup]=ln(b)/a[/b][color=#333333], így az egyenlet másik két gyöke:[br] [/color][color=#999999][/color][color=#b6b6b6][b]x=-e[sup]-LambertW(ln(b)/a,-1[/sup][/b][sup])[/sup][/color][color=#333333] Egy komplex szám. (??)[br][/color][color=#0000ff] [b]x=-e[/b][/color][color=#0000ff][b][sup]-LambertW(ln(b)/a)[/sup] [/b] [/color][color=#333333] Az eredeti egyenlet negatív gyöke.[/color][/*][/list][color=#333333][color=#333333]Messzire vezetne az a vizsgálat, amely szerint maga a [/color][b]LambertW() [/b][color=#333333]függvény a komplex számsíkon értelmezett komplex értékeket adó függvény. Ez már túl mutat az elemzésünk határán.[br][br]Az viszont nem, hogy megkíséreljük szemléletessé tenni a kapott eredményeket. [br]Az alábbi appletben nem várjuk el a GeoGebrától, hogy itt és most, valós időben oldja meg a konkrét paraméterekkel megadott egyenletet, elegendő konkrét értékeket írnunk az[/color][b][color=#ff0000] a[/color][/b][color=#333333] és [/color][b][color=#0000ff]b[/color][/b][color=#333333] paraméterek helyére. [br][br][/color][/color]Ha ezeknek a paramétereknek olyan értéket adunk, hogy az egyenletnek nem keletkeznek pozitív gyökei, akkor a megjelenő [b]→ a=e ln(b) [/b]szövegre kattintva kapunk egy olyan - mindössze [i]b[/i]-től függő - speciális esetet, amelyben [b][color=#ff0000]f(x)[/color][/b] és [b][color=#0000ff]g(x)[/color][/b] éppen érinti egymást. [br]

... az[b][color=#ff0000] a[/color][/b][color=#333333] és [/color][b][color=#0000ff]b[/color][/b][color=#333333] paraméterek[i] 0.01[/i] pontosságúra állíthatók, sőt konkrét értékeket tudunk írni a parancs sorba.[br] Pl: [b]a=3.14[/b], [b]a=Pi [/b], vagy akár [b]a=e ln(b).[/b] (Ha kísérletezés közben esetleg elveszik egy csúszka, a jobb felső sarokban lévő [b]↷[/b] jellel állítsuk vissza a kezdő állapotot.)[br][br]A bal oldali rajzlapon rendre megjeleníthető, hogy a - többszörösen összetett - függvényekkel kapott gyökök miként állnak elő az [/color][b][color=#ff0000]a[/color][/b][color=#333333] és [/color][b][color=#0000ff]b[/color][/b][color=#333333] paraméterből. [br][br][/color]Az már talán nem is meglepő, hogy ha az egyenlet két pozitív gyöke egybeesik, akkor ez a gyök éppen [b]e[/b] .