Pitkästä, 30 cm leveästä metalliliuskasta taitellaan ränni siten, että molemmilta pitkiltä sivuilta taitetaan 10 cm mittaiset palat ylös sopivaan kulmaan (katso kuva alla). Mikä on se kulma [math] \Large \theta [/math] joka maksimoi muodostuvan rännin tilavuuden?[br][br]

Oletetaan, että [math] \Large 0<\theta <\pi [/math]. Merkitään rännin korkeutta symbolilla [math] \Large h [/math]. Rännin tilavuus maksimoituu silloin, kun sen poikkipinta-ala on suurimmillaan. Poikkipinta-ala on puolisuunnikas, jonka pinta-ala on[br][math] \Large [br] A = \frac{a+c}{2}h[br][/math][br][math] \Large [br] = \frac{10+10+2\cdot 10\cos\theta}{2}10\sin\theta[br][/math][br][math] \Large [br] = 100\sin\theta + 100\cos\theta\sin\theta[br][/math][br][br]Avoimella välillä [math] \Large A [/math] saavuttaa suurimman (ja pienimmän) arvonsa derivaatan nollakohdissa ja pisteissä, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska [math] \Large A [/math] on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, ääriarvot löytyvät sen derivaatan nollakohdista.[br][br][math] \Large[br] A'(\theta) = 100\cos\theta +100 \cdot (-\sin\theta \cdot \sin\theta + \cos\theta \cdot \cos\theta) \\[br][/math][br][math] \Large[br] = 100\cos\theta +100 \cdot (\cos^2\theta - \sin^2\theta)\\[br][/math][br][math] \Large[br] = 100\cos\theta +100 \cdot (2\cos^2\theta -1)\\[br][/math][br][math] \Large[br] = 200\cos^2\theta + 100\cos\theta -100 = 0[br][/math][br][br]Merkitään [math] \Large\cos\theta = u[/math], jolloin saadaan[br][br][math] \Large[br]200u^2 + 100u -100 = 0[br][/math][br][math] \Large[br] 2u^2 + u - 1 = 0[br][/math][br][br]Tämän toisen asteen yhtälön ratkaisuna saadaan [math] \Large u = \frac{1}{2} [/math] ja [math] \Large u = -1 [/math]. Nyt siis [math] \Large A'(\theta)=0 [/math] jos[br][br] [math] \Large [br]\cos\theta = \frac{1}{2} \Longrightarrow \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi [br] [/math][br]tai [br] [math] \Large [br]\cos\theta = -1 \Longrightarrow \theta = \pm \pi + 2n\pi[br] [/math][br][br]Saaduista ratkaisuista määrittelyvälille kuuluu vain [math] \Large \theta=\frac{\pi}{3} [/math]. Tutkimalla derivaatan merkkiä tämän nollakohdan ympärillä voidaan todeta, että se on maksimiarvo ja siten [math] \Large A [/math]:n suurin arvo määrittelyvälillä. Eli siis kulman täytyy olla [math] \Large \theta=\frac{\pi}{3} \textrm{ rad } = 60^{\circ} [/math].