[size=85]Igazoljuk, hogy ha [math]a,b,c,d\in\mathbb{R}[/math][/size], [size=85]akkor[/size] [br][math]\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\sqrt{b^2+c^2+d^2}+\sqrt{c^2+d^2+a^2}+\sqrt{d^2+a^2+b^2}\ge\left\langle a+b+c+d\right\rangle\sqrt{3}[/math].

[size=85]A fenti appletben szereplő [i]ABCDEFTH [/i]kocka éleinek hossza [math]|a|+|b|+|c|+|d|[/math][/size] . [size=85]A bizonyítandó állítás bal oldalának tagjai - a [url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-8-osztaly/2/tergeometria/a-pitagorasz-tetel-tergeometriai-szamitasokban]térbeli Pitagorasz-tétel[/url] miatt - a színes téglatestek átlói. A [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/H%C3%A1romsz%C3%B6g-egyenl%C5%91tlens%C3%A9g]háromszög egyenlőtlenség[/url] következtében ezeknek összege legalább akkora, mint az [i]AT[/i] testátló, aminek hossza [math]\left\langle|a|+|b|+|c|+|d\right\rangle\sqrt{3}.[/math][/size] [size=85]Ez legalább akkora, mint [math]\left\langle a+b+c+d\right\rangle\sqrt{3}[/math][/size].

[size=85]gazoljuk, hogy ha [math]a,b,c\in\mathbb{R}[/math][/size], [size=85]akkor [math]\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}>\left\langle a+b+c\right\rangle\sqrt{2}[/math][/size].

[size=85]Ha végigkövettük az első probléma megoldását, akkor a fenti applet vizsgálata közben a 2. probléma bizonyításához is eljuthatunk.[/size]

[size=85]Igazoljuk, hogy ha [math]a,b,c\in\mathbb{R}^+[/math][/size], [size=85]akkor[br][math]\sqrt{a^2+b^2+ab\sqrt{2}}+\sqrt{b^2+c^2+bc\sqrt{2}}+\sqrt{c^2+a^2+ab\sqrt{2}}\ge\left\langle a+b+c\right\rangle\sqrt{2+\sqrt{2}}[/math][/size][size=85]![/size]

[size=85]Ha az előző bizonyításban a Pitagorasz-tételt a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Koszinuszt%C3%A9tel]koszinusztételr[/url]e cseréljük, akkor megkapjuk a bizonyítást.[br][br][/size][size=85]Ha a 135[sup]o[/sup]-ot más szögre cseréljük, akkor újabb bizonyítandó állításokat kaphatunk.[/size]