[b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b]

[b][size=150]＜複素数の和差はベクトルと同じ＞[br][/size][/b][color=#0000ff][b]複素数の和差の定義は、成分ごとの和差だ。[br][/b][/color]だから、ベクトルの和差の定義と同じと言える。[br]もちろん[color=#0000ff][b]定数倍も同様[/b][/color]になる。[br]ということは、[color=#0000ff][size=150][b]線形[linear]な計算[/b][/size][/color]で位置が決まる数式は、複素数とベクトルは同じになる。[br]太字が複素数だとする。位置ベクトルと同じ式だ。[br][br]・線分A([b]a)[/b]B([b]ｂ)[/b]を[color=#0000ff][b]ｍ：ｎに分ける[/b][/color]点ｐはp=(n[b]a[/b]+m[b]b[/b])/m+n[br]　（外分はｎを負の数にすればよい。）[br]・[color=#0000ff][b]２点[/b][/color]A([b]a)、[/b]B([b]ｂ)[/b][color=#0000ff][b]を通る直線[/b][/color]ｚ=s[b]a[/b]+t[b]b[/b]（s+t=1）[br]・[b][color=#0000ff]三角形[/color][/b]ABC([b]a,b,c[/b])の[color=#0000ff][b]重心[/b][/color]gはｇ＝([b]a[/b]+[b]b[/b]+[b]c[/b])/3[br]・２点AB([b]a,b[/b])の[color=#0000ff][b]中点[/b][/color]ｍはｍ=([b]a[/b]+[b]b[/b])/2[br]これらを実部と虚部それぞれでやればいいね。[br][br][b]＜線分の長さ＞[/b][br]線分ABに向きをつけたベクトルABは終点Bー始点A＝b-aで[color=#0000ff][b]位置ベクトルの差[/b][/color]で表すことができた。[br]複素数でもまったく同じに2つの[color=#0000ff][b]複素数の差b-a[/b][/color]で表すことができる。[br]ベクトルと同様に複素数で線分の長さを表すには|b-a|と表す。[br]だから、中心がAで半径ｒの円つまり、AP=rとなる円の方程式は|z-a|=rでよい。[br]・「A([b]a)[/b]とB([b]ｂ[/b])の[b][color=#0000ff]垂直二等分線[/color][/b]は、P(z)とすると、PA=PBという条件を絶対値を使えばよいね。[br]　だから、[b][size=150]|z-a|=|z-b|[/size][/b]。[br]・「A([b]a)[/b]とB([b]ｂ[/b])からの長さがm:nの点zは、P(z)とすると、nPA=mPBという条件を絶対値で使えばよいね。　　[br]　だから、[b][size=150]n|z-a|=m|z-b|[/size][/b]。これは[color=#0000ff][b]アポロニウスの円[/b][/color]だね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「|z-3|=2|z|が表す[b]ｚの軌跡[/b]」は？[br]　A(3,0)とO(0,0)を結ぶ線分AOを2:1に分ける２点B(-3,0),C(1,0)を結ぶ線分BCが直径の[b]アポロニウスの円[/b]。[br]　だから、(-3+1)/2=-1、1-(-1)=2から、中心が(-1,0)、半径２の円になる。複素数方程式は|z+1|=2。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「２点A(α),B(β)があり、[math]\left|z-\beta\right|=\sqrt{2}\left|z-\alpha\right|[/math]　の[b]ｚの軌跡[/b]が原点を中心する円ならβ=kα。kの値」は？[br]点Z(z)とすると、ZB＝2ZAだから、Zは線分ABを1:√2に内分する点P(p)と外分する点Q(q)とするときに、[br]線分PQを直径とする[b]アポロニウスの円[/b]になる。その中心が原点O(0)。[br]p=[math]\frac{\sqrt{2}\alpha+\beta}{\sqrt{2}+1}=\left(\sqrt{2}\alpha+\beta\right)\left(\sqrt{2}-1\right)[/math] ,q=[math]\frac{\sqrt{2}\alpha-\beta}{\sqrt{2}-1}=\left(\sqrt{2}\alpha-\beta\right)\left(\sqrt{2}+1\right)[/math][br]p+q=[math]\left(\sqrt{2}\alpha+\beta\right)\left(\sqrt{2}-1\right)+\left(\sqrt{2}\alpha-\beta\right)\left(\sqrt{2}+1\right)=\left(2-\sqrt{2}+2+\sqrt{2}\right)\alpha+\left(\sqrt{2}-1-\sqrt{2}-1\right)\beta[/math][br]=4α-2β=0。だから、β=2α。だから、k=2だね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「ｚが[math]|z|=\sqrt{2}[/math][size=100]を満たすとき[/size][size=100][b]ｗ＝[math]\frac{z-1}{z-i}[/math][/b]の[b]軌跡[/b]」[/size][size=100]は？[br]　wの式をｚ＝[b]ｗの式にしよう。[/b][math]z=\frac{wi-1}{w-1}=\frac{i\left(x+i\right)}{w-1}[/math][br]　[math]\left|\frac{i\left(w+i\right)}{w-1}\right|=\frac{\left|i\right|\left|w+i\right|}{\left|w-1\right|}=\frac{\left|w+i\right|}{\left|w-1\right|}=\sqrt{2}[/math] だから、|w+i|=√2|w-1|[br] 点A(1),点B(-i),点W(w）とすると、WはABを1:√2に内分する点P(p),外分する点Q(q）とし、[br]　ABを直径とする[b]アポロニウスの円[/b]。[br]p=[math]\left(1\sqrt{2}-i\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=\left(2-\sqrt{2}\right)-\left(\sqrt{2}-1\right)i[/math] , q=[math]\left(1\sqrt{2}+i\right)\left(\sqrt{2}+1\right)=\left(2+\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)i[/math][br]中心は(p+q)/2=2+i。半径は|(q-p)/2|=|√2+√2i|=2。[br]方程式は|w-(2+i)|=2。[/size][color=#0000ff][br]（例）[br][/color]「ｚが中心-1+i, 半径１の円なら[b]ｗ=[/b][math]-\frac{z+i}{z-i}[/math]の[b]軌跡[/b]」は？[br]　|z+1-i|=1。この式に、ｗの式を積の形にしてｚで整理してｚ＝[b]ｗの式[/b]を代入してみよう。[br] z+i=(i-z)w=iw-zw。ｚ(w+1)=i(w-1)から、ｚ＝(w-1)i/(w+1)。これを絶対値の式に代入する。[br] [math]\frac{|\frac{(w-1)i}{(w+1)}+1-i|}{|w+1|}=\frac{|(w-1)i+(w+1)(1-i)|}{|w+1|}=\frac{|wi-i+w-wi+1-i|}{|w+1|}=\frac{|w+1-2i|}{|w+1|}=1[/math]　[br]だから、[math]|w-(-1+2i)|=|w+1|[/math]となる。[br]２点A(-1+2i),B(-1+0i)を結ぶ線分ABの[b]垂直２等分線[/b]だね。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「ｚが[math]|z|^2-(1+i)z-(1-i)\overline{z}=-1[/math][size=100]を満たすとき[/size][size=100][b]ｗ＝[/b]z+(1+√3)iの[b]偏角θの最小値[/b]」[/size][size=100]は？[br]　共役を*で表すとき、|a|=|a*|, aa*=|a|[sup]2[/sup]となることを意識してみよう。[br] zz*-(1-i)*z-(1-i)z[size=100]*+(1-i)(1-i)*=-1+2。(z-(1-i))(z-(1-i))*=1。|z-(1-i)|=1。[br][/size]　ｚは中心1-iで半径１の円。ここで、wの式をｚ＝[b]ｗの式[/b]にして代入してみよう。[br]　z=w-(1+√3)i。|w-i-√3i-1+i|=1 。|w-(1+√3i)|=1。wは中心1+√3i＝(2；60°)で半径1の円。[br]　図をかいて原点から円ｗへ接線をひく。[br] cos60°=1/2から、原点から引いた接線は虚軸とｙ＝tan30°ｘだから、最小値θ＝30°。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「|α-β|=1で|α|=２のとき、f(x)=x/|x|[sup]2[/sup]と約束するとき、|f(α)-f(β)|の最小値」は？[br]　f(x)=x/xx*=1/x*だから、p=|f(α)-f(β)|=|1/α*-1/β*|=|β*-α*|/|α*||β*|=|α-β|/|α||β|=1/2|β|となる。[br][/size]　[u][b]A(α)は原点Oで半径2の円周上を動き[/b][/u][b][u]、B(β)はAを中心に半径１の円周上を動く[/u][/b]。[br]　だから、pの最小になるのは、|β|が最大の2+1=3のとき。最小値=1/(2･3)=1/6。

[b][size=150]＜複素数の商の意味＞[/size][/b][br]３点A([b]a[/b])、B([b]ｂ[/b])、C([b]c[/b]）で２つの複素数の差の商(AB)/(AC)が(r ; θ）と等しいとき[br][math]\frac{b-a}{c-a}=\left(r;\theta\right)[/math] となり、積の形にすると、AB =AC ・（r ; θ)となる。だから、[br]ABはACの[b]ｒ倍に拡大し、θ回転して[/b]ベクトルとしてとらえられるね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]　[math]\frac{b-a}{c-a}=\left(r;\frac{\pi}{2}\right)[/math]　ならば、riという[b]純虚数[/b]に等しいことになる。90度回転になるからABとACは[b]垂直[/b]。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]　[math]\frac{b-a}{c-a}=\left(r;n\pi\right)[/math]　ならば、±ｒという[b]実数[/b]に等しいことになる。3点A,B,Cは[b]同一直線上[/b]にある。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「３点A([b]a[/b])、B([b]i[/b])、C([b]√3+2i[/b]）を頂点とする直角三角形ABCの角A,B,Cが90,60,30(度)となるときのa」は？[br][u][b]BA:BC=1:2で、角B=±60度を複素数の商[/b][/u]で表すと、[math]z=\frac{a-b}{c-b}=\left(\frac{1}{2};\pm\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{4}\pm\frac{\sqrt{3}}{4}i[/math][br]これを積の形にして、a-b=(c-b)z だから、a=i+(c-i)z=[br][math]i+\left(\sqrt{3}+i\right)\left(1\pm\sqrt{3}i\right)\frac{1}{4}=i+\left(4i+\sqrt{3}-\sqrt{3}\right)\frac{1}{4},i+\left(-2i+\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)\frac{1}{4}=2i,\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i[/math][br][color=#0000ff][color=#0000ff]（例）[/color][br][/color]「２点A(α),B(β)があり、[math]\left|\alpha\right|=1,\left|\beta\right|=\sqrt{2},\left|\alpha-\beta\right|=1[/math]　（[math]\frac{\beta}{\alpha}[/math]の虚部は正）のとき[math]\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^8[/math] の値」は？[br]OA=1, OB=√2,AB=1、[math]\frac{\beta}{\alpha}[/math]の虚部は正だから角AOBが反時計周りになり、角Aが直角の[b]直角二等辺三角形[/b]。[br][math]\frac{\beta}{\alpha}[/math] =(√2; 45°)=1+ iとなる。この８乗はド・モアブルの定理から45°×8=360°、√2の8乗=2の4乗=16より。[br][math]\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^8=16\left(cos2\pi+i\cdot sin2\pi\right)=16[/math][color=#0000ff].[br][br]（例）[/color][br]「4点O,P(1+i),A(α),B(β)でOPAは[b]正三角形[/b]、PBAはPB=ABの[b]直角三角形[/b]で、Aが第4象限、BがOPAの内部[br]　このときのα、β」は？[br]　p=1+iだから(1；-60°)=[math]\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i[/math]をかけて、α=(1+i)(1/2-√3/2i)=[u][math]\frac{1+\sqrt{3}}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}i[/math][/u]。[br]　Aを中心にPを45°回転して1/√2倍するとBに重なるから、(p-α)(1/√2; 45°)=(β-α)となる。[br]　β-α=(p-α)・1/2(1+i)=1/2(1+i- ((1+√3)/2+(1-√3)/2i)(1+i)=1/4((1-√3)+(1+√3)i)(1+i)[br] =1/4((1-√3)+(1+√3)i+(1-√3)i-(1+√3))=1/4(-2√3+2i)[br]　β=1/2((1+√3)+(1-√3)i)+1/4(-2√3+2i)=1/2((1+√3-√3)+(1-√3+1)i)=[u][math]\frac{1}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}i[/math][/u]。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「[math]z=\sqrt{2}\left(cos\theta+isin\theta+\sqrt{3}\left(icos\theta-sin\theta\right)\right)[/math]でθが０以上2/3π以下のとき、D=|z-1+i|の最大値」は？[br] [math]z=\sqrt{2}\left(cos\theta-\sqrt{3}sin\theta+i\left(sin\theta+\sqrt{3}cos\theta\right)\right)=2\sqrt{2}\left(cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+isin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\right)=\left(2\sqrt{2};\theta+\frac{\pi}{3}\right)[/math][br] p=z=(2√2; θ+π/3)、q=1-i=(√2; π/4)とし、複素平面上で点P(p), 点Q(q)とする。[br] D=|p-q|の最大値は、OQがOPと逆方向になるときで、θの変域からして可能。[br] D=2√2+√2=3√2。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「虚軸上の複素数[math]p=\frac{z}{z-\sqrt{2}}[/math]が[math]q=\frac{1+i}{\sqrt{2}}[/math]から一番遠いｚの[math]s=1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7[/math]の値」は？[br]　３点A(a=(√2,0)),P(p=(x,y)),O(o=(0,0))はｐ＝(z-0)/(z-√2)=(r; 90°)となり、角Pが[b]直角な三角形[/b]となる。[br]　だから、角Pは直径OA上の円周角。円の中心はAOの中点M(m=(√2/2,0)),半径は√2/2。[br]　点Q（q=(√2/2,√2/2)=(１；45°))はこの円周上にある。[br]　qから一番遠いｚは、点QのMについて[b]対称な点[/b]（q*=(１；-45°)=(1-i)/2 )。[br]　sum(ｚ[sup]k[/sup],k,0,7)=1+z+....+z[sup]7[/sup]=(z[sup]8[/sup]-1)/(z-1)=((1；-45°・8)-1)/(z-1)=[math]\frac{1-1}{z-1}[/math]=0。[br]