In der vorherigen Einheit haben wir viele Situationen kennengelernt, bei denen drei Informationen ein Dreieck eindeutig festgelegt haben. Doch ist das immer so?
[b][size=200]Drei Winkel[/size][/b][br]Konstruiere ein Dreieck mit [math]\alpha[/math] = 45°, [math]\beta[/math] = 65° und [math]\gamma[/math] = 70°[br]Verschiebe dann die Punkte deiner Konstruktion und beobachte, was geschieht.
Beschreibe kurz, wie sich unterschiedliche Dreiecke, welche alle die Bedingungen erfüllen, unterscheiden.
Die Seiten können beliebig lang oder kurz sein.
Erkläre kurz, warum durch die Angabe des dritten Winkels keine zusätzliche Information geliefert wird.
Da die Innenwinkelsumme im Dreieck 180° beträgt, wird durch die Angabe von zwei Winkeln auch der dritte festgelegt.
[b][size=200]Fazit:[/size][/b][br]Ein Dreieck ist durch drei Winkel nicht vollständig festgelegt, WWW ist [b]kein [/b]Kongruenzsatz.
[b][size=200]Drei Seiten[/size][/b][br]Versuche, ein Dreieck mit a = 6 LE, b = 2 LE und c = 3 LE zu konstruieren.
Beschreibe, welches Problem bei dieser Konstruktion auftritt.
Die Kreise von zwei der Seiten überschneiden sich nicht. Es ist nicht möglich, so ein Dreieck zu konstruieren.
[b][size=200]sSW[/size][/b][br]Konstruiere ein Dreieck mit a = 5 LE, b = 3 LE und [math]\beta[/math] = 25°
Beschreibe, was dir auffällt.
Es gibt zwei Schnittpunkte von Kreis und Gerade. Somit lassen sich zwei unterschiedliche, [b]nicht[/b] zueinander kongruente Dreiecke konstruieren, die der Angabe entsprechen. Das Dreieck ist [b]nicht[/b] eindeutig festgelegt!
[b][size=200]sSW, zweiter Versuch[br][/size][/b][size=200][size=100]Konstruiere ein Dreieck mit a = 5 LE, b = 3 LE und [math]\beta[/math] = 55°.[/size][/size]
Beschreibe, auf welches Problem du stößt.
In dieser Situation gibt es gar keinen Schnittpunkt! Es ist nicht möglich, ein Dreieck zu konstruieren, dass diesen drei Bedingungen entspricht.
[b][size=200]Fazit:[/size][/b][br]Durch Angabe von zwei Seiten und dem an der längeren Seite anliegenden Winkel ist ein Dreicke i.A. nicht eindeutig festgelegt. sSW ist [b]kein[/b] Kongruenzsatz!
[b][size=200]Übungen[/size][/b][br]1. Enscheide, welche der Dreiecke eindeutig konstruierbar sind. Du kannst das Applet zum experimentieren verwenden, wenn du möchstest.
a = 3 LE, b = 5 LE, [math]\gamma[/math] = 135°[br]Eindeutig konstruierbar?
a = 3 LE, b = 5 LE, c = 1 LE[br]Eindeutig konstruierbar?
a = 3 LE, c = 1 LE, b = 2,5 LE[br]Eindeutig konstruierbar?
b = 4 LE, c = 1 LE, [math]\beta[/math] = 55°[br]Eindeutig konstruierbar?
b = 4 LE, c = 1 LE, [math]\gamma[/math] = 55°[br]Eindeutig konstruierbar?
[math]\alpha=\beta=\gamma=60°[/math][br]Eindeutig konstruierbar?
a = b = c = 6 LE[br]Eindeutig konstruierbar?
2. Entscheide jeweils, ob die beiden Dreiecke sicher kongruent sind.
Dreieck 1: a = 4 LE, [math]\beta[/math] = 55°, [math]\gamma[/math] = 30°[br]Dreieck 2: c = 4 LE, [math]\alpha[/math] = 30°, [math]\gamma[/math] = 95°[br]Kongruent?
Dreieck 1: a = 4 LE, b = 12 LE, [math]\gamma[/math] = 20°[br]Dreieck 2: c = 12 LE, a = 4 LE, [math]\beta[/math] = 20°[br]Kongruent?
Dreieck 1: a = 4 LE, b = 12 LE, [math]\beta[/math] = 20°[br]Dreieck 2: c = 12 LE, a = 4 LE, [math]\beta[/math] = 20°[br]Kongruent?
3. Erkläre, was du über ein gleichseitiges Dreieck wissen musst, damit es eindeutig festgelegt ist.
4. Konstruiere ein Dreieck mit[br]a = 2 LE, b = 4 LE und [math]\beta[/math] = 155°