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Das rgb-Modell gehört zu den additiven Farbmodellen, d. h. die Farbanteile der drei Grundfarben addieren sich und je mehr Anteile zugegeben werden, desto heller ist die so gemischte Farbe. Dadurch unterscheidet sich das Modell vom Mischen von Farben auf weißem Papier. Wenn auf einem Blatt Papier Farben gemischt werden, ist das Ergebnis in der Regel dunkler, als die verwendeten Grundfarben. [br][br]Am einfachsten kann man sich das Mischen von Farben im rgb-Modell so vorstellen: Drei Taschenlampen leuchten jeweils in den Farben [color=#ff0000]rot[/color], [color=#00ff00]grün [/color]und [color=#0000ff]blau[/color]. Richtet man nun den Lichtschein der Taschenlampen auf eine dunkle Wand und überschneiden sich die Lichtkegel der Taschenlampen, so ist dort eine hellere Farbe zu sehen. Dort wo alle drei Lichtkegel übereinander liegen, sieht man die Farbe Weiß.
Notieren Sie die Grundfarben [color=#ff0000]rot[/color], [color=#00ff00]grün[/color] und [color=#0000ff]blau[/color] jeweils als einzelne Vektoren [math]\overrightarrow{rot}, \overrightarrow{grün}, \overrightarrow{blau}[/math] und formulieren Sie dann in Vektorschreibweise das oben beschriebene Mischen von [math]\overrightarrow{weiß}[/math] aus diesen Grundfarbvektoren als mathematische Rechnung.
[math]\overrightarrow{rot} = \begin{pmatrix}255 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{grün} = \begin{pmatrix}0 \\ 255 \\ 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{blau} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 255 \end{pmatrix}[/math] [br][math]\overrightarrow{weiß} = \overrightarrow{rot} + \overrightarrow{grün} + \overrightarrow{blau}[/math] [br][math]\begin{pmatrix}255 \\ 255 \\ 255 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}255 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ 255 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 255\end{pmatrix}[/math]
Jede beliebige andere Farbe des Farbraums erhalten Sie, wenn Sie die drei Farbtöne [color=#ff0000]rot[/color], [color=#00ff00]grün[/color], [color=#0000ff]blau [/color]mit bestimmten Intensitäten mischen. [br]Vollziehen Sie dies mithilfe des Applets nach und geben Sie den Farbvektor für die [color=#ffff00]gelbe[/color], die [color=#ff00ff]rosafarbene [/color]und die [color=#00ffff]mintgrüne [/color]Überschneidungsflächen von je zwei Grundfarben im folgenden Applet an, wenn Sie insgesamt weiß gemischt haben.
[math]\overrightarrow{gelb} = \begin{pmatrix}255 \\ 255 \\ 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{rosa} = \begin{pmatrix}255 \\ 0 \\ 255 \end{pmatrix}, \overrightarrow{mint} = \begin{pmatrix}0\\255\\255\end{pmatrix}[/math]
[b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][color=#1155cc]Nutzungshinweise zum Applet[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b]Bewegen Sie die Schieberegler und verändern Sie den Wert der drei Farbkomponenten. [br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b]Rechts neben den Schiebereglern lässt sich die Intensität der Komponente direkt eingeben.[br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b]Klicken oben rechts im Applet auf [img]https://mategnu.de/bilder/ggb/neu_laden.jpg[/img] setzt das Applet auf den Ausgangszustand zurück. [br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b]Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://mategnu.de/bilder/ggb/vollbild.jpg[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.[br]
Geben Sie die Intensitäten [i]k[sub]rot [/sub]k[sub]grün [/sub]k[sub]blau[/sub][/i] an, um aus den Vektoren [math]\overrightarrow{rot}[/math], [math]\overrightarrow{grün}[/math]und [math]\overrightarrow{blau}[/math] den Farbvektor [math]\overrightarrow{lila}=\begin{pmatrix}72\\48\\98\end{pmatrix}[/math] zu mischen. [br]Gesucht sind also die Intensitäten [i]k[sub]rot [/sub]k[sub]grün [/sub]k[sub]blau[/sub][/i], so dass [math]\overrightarrow{lila}=k_{rot}\cdot \overrightarrow{rot}+k_{grün}\cdot \overrightarrow{grün}+k_{blau}\cdot \overrightarrow{blau}[/math] erfüllt ist. [br]Man nennt diese Verknüpfung von Vektoren [b]Linearkombination[/b].
[math]\overrightarrow{lila} = k_{rot} \cdot \overrightarrow{rot}+k_{grün} \cdot \overrightarrow{grün}+k_{blau} \cdot \overrightarrow{blau} = k_{rot} \cdot \begin{pmatrix}255\\0\\0\end{pmatrix}+k_{grün} \cdot \begin{pmatrix}0\\255\\0\end{pmatrix}+k_{blau} \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\255\end{pmatrix}[/math] [br][math]k_{rot} \cdot 255 = 72[/math] [br][math]k_{grün} \cdot 255 = 48[/math] [br][math]k_{blau} \cdot 255 = 98[/math] [br][math]k_{rot}=72/255 \ \ k_{grün}=48/255 \ \ k_{blau}=98/255[/math]
Sie haben jetzt erarbeitet, dass Sie jede beliebige Farbe des Farbraums aus den drei Farbtönen [color=#ff0000]rot[/color], [color=#00ff00]grün[/color] und [color=#0000ff]blau [/color]mit bestimmten Intensitäten mischen können. Mathematisch gesprochen lässt sich jeder Farbvektor als [b]Linearkombination[/b] der Grundfarbvektoren [math]\overrightarrow{rot}=\begin{pmatrix}255\\0\\0\end{pmatrix}[/math], [math]\overrightarrow{grün}=\begin{pmatrix}0\\255\\0\end{pmatrix}[/math] und [math]\overrightarrow{blau}=\begin{pmatrix}0\\0\\255\end{pmatrix}[/math] darstellen.
Würden auch zwei der Grundfarben ausreichen? Geben Sie zwei verschiedene Farbvektoren an, die sich NICHT aus den Grundfarben [color=#00ff00]grün [/color]und [color=#0000ff]blau [/color]mischen lassen und begründen Sie.
Jeder Farbvektor mit Rotanteil, also erste Komponente ungleich 0, lässt sich so nicht darstellen. [br]Beispiele: [br][math] \vec{b1} =\begin{pmatrix}100\\20\\15\end{pmatrix}, \vec{b2} = \begin{pmatrix}120\\90\\13\end{pmatrix}[/math] [br]Es sind nur folgende Farbvektoren möglich:[br][math] k_{grün} \cdot \overrightarrow{grün}+k_{blau} \cdot \overrightarrow{blau} =\begin{pmatrix}0\\k_{grün} \cdot 255\\k_{blau} \cdot 255\end{pmatrix}[/math]
Sie können also [color=#ff0000]rot [/color]nicht aus [color=#00ff00]grün [/color]oder [color=#0000ff]blau [/color]mischen. Sie können keine der drei Farbtöne [color=#ff0000]rot[/color], [color=#00ff00]grün [/color]und [color=#0000ff]blau [/color]aus den beiden anderen mischen. Begründen Sie kurz mit der Vektorschreibweise, warum das nicht funktioniert. Die Farbvektoren [math]\overrightarrow{rot}=\begin{pmatrix}255\\0\\0\end{pmatrix}[/math] [math]\overrightarrow{grün}=\begin{pmatrix}0\\255\\0\end{pmatrix}[/math] und [math]\overrightarrow{blau}=\begin{pmatrix}0\\0\\255\end{pmatrix}[/math] heißen deshalb [b]linear unabhängig[/b].
Es müsste gelten:[br] [math]\overrightarrow{rot}= k_{grün} \cdot \overrightarrow{grün}+k_{blau} \cdot \overrightarrow{blau} =k_{grün} \cdot \begin{pmatrix}0\\255\\0\end{pmatrix} +k_{blau} \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\255\end{pmatrix}[/math][br]also [br][math]\begin{pmatrix}255\\0\\0\end{pmatrix}=k_{grün} \cdot \begin{pmatrix}0\\255\\0\end{pmatrix}+k_{blau} \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\255\end{pmatrix}[/math] [br]damit gilt für die erste Komponente[br][math]255=k_{grün} \cdot 0+k_{blau} \cdot 0[/math],[br]was nicht lösbar ist.
Bisher haben Sie die Farbvektoren aus den Grundfarbvektoren [math]\overrightarrow{rot}[/math], [math]\overrightarrow{grün}[/math] und [math]\overrightarrow{blau}[/math] gemischt. Aber welche Farben kann man aus anderen Farben mischen?[br][br]Betrachten Sie die beiden folgenden Farbvektoren:[br][math]\overrightarrow{lila}=\begin{pmatrix}72 \\48 \\98 \end{pmatrix}[/math] [math]\overrightarrow{grasgrün}=\begin{pmatrix} 10\\74 \\4 \end{pmatrix}[/math] [br][br]Lassen sich mit lila und grasgrün diese Farben mischen?[br][math]\overrightarrow{hellblau}=\begin{pmatrix} 154\\170 \\200 \end{pmatrix}[/math] [math]\overrightarrow{terrakotta}=\begin{pmatrix} 230\\ 99\\ 23\end{pmatrix}[/math] [br][br]Nutzen Sie zur Berechnung das digitale Arbeitsblatt [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/umpyyx2n][color=#095EBC]M3.I.3c) AB Linearkombinationen von Vektoren bestimmen[/color][/url].[br][br]Kreuzen Sie unten die Farbe(n) an, die sich aus [math]\overrightarrow{lila}[/math] und [math]\overrightarrow{grasgrün}[/math] mischen lassen.
[i][u]Quellen: [/u][br]Applet: Susanne Digel und Jürgen Roth adaptiert [i]von [url=https://www.geogebra.org/u/timohiidensola]Timo Hiidensola[/url]. [br][/i]Idee: Schürmann, U. (2019). Farben und Farbmodelle – analytische Geometrie realitätsbezogen unterrichten. In: Grafenhofer, I., Maaß, J. (eds) Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 6. Realitätsbezüge im Mathematikunterricht. Springer Spektrum, Wiesbaden.[br]Strecker, K.: Kann man aus Lila und Grasgrün Terrakotta mischen? Lineare Unabhängigkeit von Vektoren am Beispiel von Farbmischungen. MNU 65(7), 395–398 (2012).[/i]