[list][*]Obiectul: [i]Matematică[/i][br][/*][*]Clasa: [i]a 9-a[/i][br][/*][*]Durata: [i]50 min.[/i][br][/*][*]Mijloace TIC:[i] [/i][i]calculatorul profesorului cu proiector, calculatoare pentru elevi, sau tablete, conexiune Internet.[/i][/*][/list]

[i]Familii de funcții de gradul al doilea[br][/i]Lecție de aprofundare și rezolvare de probleme.

[i]La finalul lecției, elevii vor fi capabili să:[br][/i][list][*][i]studieze și să discute proprietățile unei funcții pătratice cu parametru ([/i][i]comportarea funcției, natura și semnul rădăcinilor, traiectoria vărfului), în funcție de parametrul real dat;[/i][/*][*][i]determine valoarea unui parametru, astfel încât funcția să admită anumite proprietăți.[/i][/*][/list]

[i]Pe parcursul lecției, elevii vor deveni capabili să:[br][/i][list][*][i]identifice, caracterizeze, sau să definească familii de funcții care depind de un parametru real;[/i][/*][*][i]studieze și să descrie proprietățile unei funcții pătratice cu parametru, determinând discriminantul, rădăcinile, punctul de extrem;[/i][/*][*][i]discute comportarea funcției, natura și semnul rădăcinilor, traiectoria vărfului, în funcție de parametrul real dat.[/i][/*][/list]

[i]Tipul lecției:[/i][br]Lecția „Familii de funcții de gradul al doilea” este una de aprofundare de cunoștințe și este destinată elevilor unei clase de profil real, matematică-informatică sau științe. [br][br][i]Cunoștințe preliminare:[/i][br]Elevii au învățat deja să studieze o funcție de gradul II în funcție de semnele coeficientului dominant și discriminantului, și pot rezolva ecuații și inecuații de gradul II, dar și reductibile la acestea, chiar cu parametru. Noutatea lecției constă în dificultatea crescută a problemelor, toate implicând existența unui parametru ce trebuie discutat.[br][br][i]Strategii și metode:[/i][br]Strategia aleasă este de a combina rezolvarea de probleme cu utilizarea noilor tehnologii, în scopul de a ajuta înțelegerea și a mări retenția. După caz, vom utiliza GeoGebra atât pentru verificarea rezultatelor și vizualizarea obiectelor studiate, dar și ca sursă de inspirație, care să stimuleze intuiția ajutând elevii în demersul lor de a demonstra proprietățile cerute prin anticiparea rezultatelor și identificarea anumitor modele repetitive. [br][br][i]Integrarea noilor tehnologii:[/i][br]Practic, la fiecare problemă propusă, elevii vor fi liberi să utilizeze GeoGebra Graph Calculator cum doresc (inclusiv CAS). Totuși, pentru eficientizarea activităților, le recomandăm o aplicație pregătită mai înainte, care afișează foaia de algebră și foaia de desen, cu un parametru deja introdus, sub forma unui cursor m. Elevii trebuie să introducă funcția dată în bara de intrări, să observe punctele speciale, să activeze desenarea traiectoriei (Trace on/Lasă urme) vârfului parabolei, și să pornească animația cursorului. Toate aceste acțiuni sunt facilitate de GeoGebra Graph Calculator, prin afișarea unei tastaturi ușor de folosit, dar și prin afișarea automată a punctelor speciale (rădăcinile și vârful parabolei). Putem de asemenea presupune că elevii nu sunt la primul contact cu acest app, deși o eventuală instruire ar dura câteva minute.[br][br][i]Activitatea propriu-zisă:[/i][br]Astfel, propunem elevilor un set de 10 probleme spre rezolvare, cel puțin 4-5 pentru lecția propriu-zisă și următoarele vor rămâne ca temă pentru acasă. Pentru fiecare problemă, elevii vor folosi fișa interactivă.[br][br][br][i]1) Fie familia de functii de gradul al doilea: [/i][math]f_m:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},f_m\left(x\right)=mx^2+2\left(m+1\right)x+m-1[/math][i], unde [/i][math]m[/math][i] este un parametru real.[br] a) Să se arate că vârfurile parabolelor asociate acestor funcții se găsesc pe dreapta de ecuație [/i][math]y=x-2[/math][i].[br] b)Ce porțiune din această dreaptă cuprinde vârfurile parabolelor cu ramurile în sus?[br][br][/i]Comentariu: Vizualizând familia de funcții, elevii pot anticipa rezultatul, și astfel, ușura demonstrația.[i][br][br]2) Se consideră[i] familia de functii de gradul al doilea: [math]f_m\left(x\right)=x^2-\left(2m-1\right)x+4m+3[/math], unde [math]m[/math] este un parametru real.[/i][/i] [i]Să se arate că parabolele asociate funcțiilor [math]f_m[/math] trec printr-un punct fix.[br][br]3) [i]Se consideră[i] familia de functii de gradul al doilea: [math]f_m\left(x\right)=x^2-2mx+1[/math], unde [math]m[/math] este un parametru real. [/i][/i]Arătați că există două parabole asociate acestor funcții care sunt tangente axei Ox. Arătați apoi că aceste două parabole au vârfurile simetrice față de originea sistemului de axe de coordonate.[br][br]4) [i]Se consideră[i] familia de functii de gradul al doilea: [math]f_m\left(x\right)=mx^2-2\left(m-2\right)x-\left(m+10\right)[/math], unde [math]m[/math] este un parametru real.[br] [/i][/i]a) Determinați [math]m\in\mathbb{R}[/math], astfel încât ecuația [math]f\left(x\right)=0[/math] să admită rădăcini reale.[br] b) [i]Determinați [math]m\in\mathbb{R}[/math], astfel încât [math]f\left(x\right)<0,\forall x\in\mathbb{R}[/math][/i].[br] c) Să se studieze și să se reprezinte grafic funcția pentru [math]m=2[/math].[br][br]5) [i]Se consideră[i] familia de functii de gradul al doilea: [math]f_m\left(x\right)=\left(m-2\right)x^2+\left(m+1\right)x+4[/math], unde [math]m[/math] este un parametru real.[br] [/i][/i]a) Aflati valorile lui [math]m\in\mathbb{R}[/math] pentru care ecuatia [math]f\left(x\right)=0[/math] nu admite rădăcini reale. [br] b) Aflați [i][i][math]m\in\mathbb{R}[/math][/i][/i], pentru care [math]f\left(x\right)>0,\forall x\in\mathbb{R}[/math]. [br] c) Să se studieze și să se reprezinte grafic funcția dată pentru [math]m=1[/math].[br][br][/i]6) [i][i]Se consideră[i] familia de functii de gradul al doilea: [math]f_m\left(x\right)=mx^2+\left(1-3m\right)x+2m-1[/math], unde [math]m[/math] este un parametru real. Să se arate că parabolele asociate acestor funcții trec prin două puncte fixe.[br][br][/i][/i][/i]7) [i][i]Se consideră[i] familia de functii de gradul al doilea: [/i][/i][/i][i][i][i][math]f\left(x\right)=mx^2+2\left(m+n\right)x+m+2n[/math], unde [/i][/i][/i][i][i][i][math]m\in\mathbb{R}^{\ast},n\in\mathbb{R}[/math][/i][/i][/i][i][i][i].[/i][/i][/i][br][i] a) Să se arate că, pentru [/i][math]n[/math][i] fixat, vârfurile parabolelor acestor funcții se găsesc pe o dreaptă.[br] b) Fie A, B punctele de intersecție ale unei parabole oarecare cu axa Ox și F proiecția vârfului V al parabolei pe axa Ox. Să se arate că [/i][math]\forall m\in\mathbb{R}^{\ast}[/math][i], [/i][math]2\cdot VF=\mid n\mid\cdot AB[/math][i].[br] c) Să se arate că toate parabolele definite prin (1) trec printr-un punct fix.[/i] [br][br][i]8) Fie familia de functii de gradul al doilea: [/i][math]f_m\left(x\right)=mx^2+2\left(m+1\right)x+m+2[/math][i][br] a) Să se arate că vârfurile parabolelor asociate acestor funcții se găsesc pe dreapta de ecuație [/i][math]y=x+1[/math][i]. [br] b) Să se arate că toate parabolele definite anterior trec printr-un punct fix.[br][br]9) [/i]Fie familia de funcții: [math]f_m\left(x\right)=mx^2+2\left(m-1\right)x+m-1[/math], unde [math]m\in\mathbb{R}^{\ast}[/math][br] a) Să se arate că vârfurile parabolelor asociate funcţiilor [math]f_m[/math] se află pe dreapta [math]x+y=0[/math] [br] b) Să se arate că parabolele asociate acestor funcții trec printr-un punct fix.[br][br][i]10) [i]Fie familia de funcții [math]f_m\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2-2\left(m+2\right)x+m+2,m\ne-1[/math][br][/i][i] a) Să se arate că parabolele asociate funcţiilor [math]f_m[/math] trec printr-un punct fix[/i][br][i] b) Să se arate că vârfurile acestor parabole se află pe dreapta de ecuaţie [math]x+y=0[/math] [br][/i][i][i][i] c) Să se determine porţiunea din dreapta de la b) care conţine vârfurile parabolelor cu ramurile în sus.[/i][br][/i] d) Să se determine parametrul real [i][i][i][math]m[/math] [/i][/i][/i]astfel încât vârfurile parabolelor să fie:[/i][br][i]  1. deasupra axei [i][i][i][i][i][i][i][math]Ox[/math]. [/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][br][i]  2. sub axa[i][i][i][i] [i][i][i][math]Ox[/math].[br]  3. în dreapta axei [i][i]a[i][i][i][i] [i][i][i][math]Oy[/math].[/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][/i][br][i]  4. pe dreapta de ecuație[i][i] [i][i][i][math]y=1[/math].[/i][/i][/i][/i][/i][/i][br][i]  5. sub dreapta de ecuație[i][i] [i][i][i][math]y=-2[/math].[/i][/i][/i][/i][/i][/i][br][br][/i]de vazut[i] [url=https://www.geogebra.org/m/rhNtGgFw]https://www.geogebra.org/m/rhNtGgFw[/url][br][/i][br]Comentarii: [br][list][*]La problemele 1-3, 6 și 9, elevii pot anticipa anumite detalii ale soluției și astfel, ușura demonstrația, pornind animația lui m și setând Trace on pentru anumite obiecte;[br][/*][*]La problemele 4,5,7 și 10, vizualizarea funcțiilor le poate confirrma/infirma soluțiile găsite.[/*][/list]

[i]Fișa interactivă: [url=https://ggbm.at/gH8QAZNd]https://ggbm.at/gH8QAZNd[/url][br]Problema 9: [url=https://www.geogebra.org/m/TdX9TrGZ#material/YuptsMx2]https://www.geogebra.org/m/TdX9TrGZ#material/YuptsMx2[/url][br]Fișa printabilă: [url=https://ggbm.at/etrkd867]https://ggbm.at/etrkd867[/url][br][/i]

[i]Calculatoarele pot fi înlocuite cu telefoanele elevilor, dacă există conexiune Internet. În cazul în care noile tehnologii nu pot fi aplicate, se va folosi doar fișa printabilă.[/i]