[size=200][b]VI. Vergleich Kettenlinie - Parabel[/b][br][math]\quad\quad[/math]Reihenentwicklung der cosh-Funktion[/size]

Wir betrachten eine Kettenlinie, die durch die Aufhängepunkte A(-c|h) und B(c|h) verläuft. Die Funktionsgleichung ist[br][math][br]f(x)=a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) - \cosh\left(\frac{c}{a}\right) + h[br][/math], oder mit [math]b := - \cosh\left(\frac{c}{a}\right) + h[/math][br][math][br]\boxed{[br]f(x)=a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) + b[br]}[br][/math][br]Die Form der Kette wird mit dem Schieberegler für a verändert.[br]Der Tiefpunkt der Kettenlinie ist S(x[sub]S[/sub],y[sub]S[/sub]).[br][br]Durch die drei Punkte A, B und S ist auch eine Parabel (achsensymmetrisch zur y-Achse) eindeutig bestimmt.

Die Parabelgleichung ist allgemein[br][math]p\left(x\right)=\alpha\cdot x^2+\beta\cdot x+\gamma[/math][br]Aus der Achsensymmetrie folgt [math]\beta=0[/math].[br]Die Parabel soll durch S verlaufen, also ist [math]\gamma=y_S[/math][br]Der Parameter [math]\alpha[/math] wird durch [math]p\left(c\right)=h[/math] bestimmt:[br][math][br]\begin{align}[br]p(c) = \alpha\cdot c^2 + y_S &= h \quad\quad\Rightarrow \\[br]\alpha\cdot c^2 &= h-y_S[br]\end{align}[br][/math][br]Nun ist aber [i]h[/i]-[i]y[/i][sub]S[/sub] gleich dem Durchhang [i]d[/i], und aus [math]\alpha\cdot c^2 = d[/math] folgt [math]\alpha =\frac{d}{c^2}[/math].[br]Also lautet die Gleichung der Parabel, die durch A, B und C verläuft[br][math][br]\boxed{[br]p(x) = \frac{d}{c^2}\cdot x^2 + y_S[br]}[br][/math][br]Verändern Sie die Form der Kettenlinie mit dem Schieberegler für den Parameter a und bestätigen Sie:[br][b]Je weniger die Kette durchhängt, desto besser kann die Kettenlinie durch eine Parabel angenähert werden.[/b]

Die Kettenlinie kann auch anders als durch eine Parabel angenähert werden, nämlich durch ein Polynom.[br]Wegen der Achsensymmetrie muss der Grad des Polynoms gerade sein.[br][br]Da für die Exponentialfunktion gilt[br][math][br]\begin{align}[br]e^x &= \;\;\;1 + \; 1\cdot x + \frac{1}{2}\cdot x^2 + \frac{1}{6}\cdot x^3 + \frac{1}{24}\cdot x^4 + ...\\[br] &= \frac{1}{0!}\cdot x^0 + \frac{1}{1!}\cdot x^1 + \frac{1}{2!}\cdot x^2 + \frac{1}{3!}\cdot x^3 + \frac{1}{4!}\cdot x^4 + ...\\[br] &= \sum\limits_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{i!}\cdot x^i} [br]\end{align}[br][/math][br]gilt auch [br][math][br]\begin{align}[br]e^{-x}[br] &= \sum\limits_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{i!}\cdot (-x)^{i}} \\[br] &= \;\;\;1+ \frac{1}{1}\cdot (-x)^1 + \frac{1}{2}\cdot (-x)^2 + \frac{1}{6}\cdot (-x)^3 + \frac{1}{24}\cdot (-x)^4 + ...\\[br] &= \;\;\;1 - 1\cdot x + \frac{1}{2}\cdot x^2 - \frac{1}{6}\cdot x^3 + \frac{1}{24}\cdot x^4 + ...\\[br]\end{align}[br][/math][br]In der Summe [math]e^x + e^{-x}[/math] heben sich dann alle Summanden mit ungeradem Exponenten auf, und die mit geradem Exponenten treten zweimal auf:[br][math][br]\begin{align}[br]\cosh(x) &= \frac{1}{2}\left(e^x + e^{-x}\right) \\[br] &= \frac{1}{2}\left([br]\;\;\;1 +1 \; + \frac{1}{2}\cdot x^2+ \frac{1}{2}\cdot x^2 \; + \frac{1}{24}\cdot x^4 + \frac{1}{24}\cdot x^4 + ...[br] \right) \\[br] &= \frac{1}{2}\cdot 2\cdot\left([br]\;\;\;1 + \frac{1}{2}\cdot x^2 + \frac{1}{24}\cdot x^4 + \frac{1}{720}\cdot x^6 + ...[br] \right)[br]\\[br]&= \sum\limits_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{(2i)!}\cdot x^{2i}}[br]\end{align}[br][/math][br]Die einfachste (nicht-lineare) Näherung für die Kettenlinie ist daher [br][math][br]t_2(x) \approx a\cdot \left( 1 + \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x}{a}\right)^2[br]\right) \; + b[br][/math][br]Eine etwas bessere Näherung für die Kettenlinie ist [br][math][br]t_4(x) \approx a\cdot \left( 1 + \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \frac{1}{24}\cdot\left(\frac{x}{a}\right)^4[br]\right) \; + b[br][/math][br]und noch besser wäre[br][math][br]t_6(x) \approx a\cdot \left( 1 + \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \frac{1}{24}\cdot\left(\frac{x}{a}\right)^4 + \frac{1}{720}\cdot\left(\frac{x}{a}\right)^6[br]\right) \; + b[br][/math][br]Im Applet oben können Sie sich diese Polynomfunktionen anzeigen lassen (sogenannte Taylor-Polynome). Mit dem Schieberegler für n können Sie die Anzahl der berücksichtigten Summanden verändern.[br][b]Die Kettenlinie kann mit diesen Polynomen um so besser angenähert werden, je höher der Grad des Polynoms ist.[/b]