Dado un triángulo [color=#0000ff][b]ABC[/b][/color] cualquiera, sean[b][color=#0000ff] {A₁, B₁, C₁}[/color][/b] los puntos de contacto de la circunferencia inscrita (puntos de contacto interior) con los lados [b][color=#0000ff]{a, b, c}[/color][/b]. Si se toman [color=#ff7700][b]{X, Y, Z}[/b][/color] en las rectas que unen el incentro [b][color=#0000ff]I[/color][/b] con los puntos de contacto interior, a la misma distancia [b]k[/b] de [b][color=#0000ff]I [/color][/b]y con la misma posición relativa respecto de los puntos de contacto, las rectas [color=#ff7700][b]AX[/b][/color], [color=#ff7700][b]BY[/b][/color] y [color=#ff7700][b]CZ[/b][/color] concurren en un punto [b][color=#ff0000]K[/color][/b], el punto de [b]Kariya[/b].[br][br]El lugar geométrico de[color=#ff0000][b] K[/b][/color] es una hiperbola equilátera circunscrita al triángulo, por lo que pasa también necesariamente por el ortocentro [b][color=#0000ff]H[/color][/b] (para [b]k =∞[/b]) . Se trata de la [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Feuerbach_hyperbola]Hipérbola de Feuerbach[/url], que pasa también de forma obvia por el Incentro [color=#0000ff][b]I[/b][/color] ([b]k = 0[/b]), y el [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Gergonne_punto_Adams_circ.html]Punto de Gergonne[/url] ([b]k=r[/b], radio de la c¡ircunferencia inscrita), punto de intersección de las cevianas de los puntos de contacto interior. Igualmente pasa por el [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Nagel_punto.html]Punto de Nagel[/url] ([b]k = -r[/b]), donde concurren las cevianas de los puntos de contacto exterior (de los círculos exinscritos) y por el menos conocido [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Punto_Schiffler.html]Punto de Schiffler[/url], en el que concurren las [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/RectaEuler.html]Líneas de Euler[/url] del triángulo [color=#0000ff][b]ABD[/b][/color] y de los triángulos [b][color=#0000ff]BCI[/color][/b], [color=#0000ff][b]CAI[/b][/color] y [color=#0000ff][b]ABI[/b][/color].[br][br]Esta hipérbola tiene su centro en el [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Feuerbach_point]Punto de Feuerbach[/url], de ahí su nombre, que es el de tangencia de la circunferencia inscrita y la [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Circunferencia9P.html]Circunferencia de los nueve puntos[/url] o de Feuerbach.

Aunque este hecho se conocía desde algunos años antes, no se le prestó especial atención hasta que el matemático japonés J. Kariya publicó un artículo sobre él:[br][br]Kariya, J. (1904). "[url=https://archive.org/details/lenseignementmat06inte/page/130/mode/2up?view=theater]Un probleme sur le triangle[/url]". L'Enseignement mathematiques. 6: 130–132, 236, 406.[br][br]La demostración de Kariya, aunque elemental, es algo farragosa. Mucho más elegante es la que puede verse a continuación, tomada de la famosa [url=https://www.mat.ucm.es/cosasmdg/cdsmdg/05edumat/geometriahoy/geomtriangulo/clase30nov00/Kariya/fgmlariya.html]colección de ejercicios de geometría de F.G.-M.[/url][br]

Pueden alejarse o acercarse los puntos[b] [color=#ff7700]{X, Y, Z}[/color][/b] a [b][color=#0000ff]I[/color][/b], pero para una mejor comprensión de la figura conviene que estén separados de I por los puntos [b][color=#0000ff]{A[sub]1[/sub], B[sub]1[/sub], C[sub]1[/sub]}[/color][/b] respectivamente.