[math]0< x_{i}< \frac{P}{2}, x_{i}\in \left\{x,y,z,t \right\}[/math]

[math]E_{1}=\left(\frac{P}{2},\frac{P}{2}-t,0\right),\:E_{2}=\left(\frac{P}{2}-t,\frac{P}{2},0\right)\\E_{3}=\left(0,\frac{P}{2},\frac{P}{2}-t\right),\:E_{4}=\left(0,\frac{P}{2}-t,\frac{P}{2}\right)\\E_{5}=\left(\frac{P}{2}-t,0,\frac{P}{2}\right),\:E_{6}=\left(\frac{P}{2},0,\frac{P}{2}-t\right)[/math]

Se impun condițiile:[br][math]\begin{cases}[br] & \text{ } x=z \\[br] & \text{ } y=t \\[br] & \text{ } x+y+z+t= P[br]\end{cases}[/math].[br]Se obține:[br][math]Q_{paralelograme}=\left(\frac{P}{2}-t,t,\frac{P}{2}-t\right)[/math][br][br]

Se suprapune, cu ajutorul mouse-lui. punctul [b]Q [/b]peste punctul [i]Q_{paralelograme}[/i] și se selectează, cu ajutorul cursorului corespunzător, valoarea lui [math]\varphi[/math] la [math]90^\circ[/math].

Se suprapune, cu ajutorul mouse-lui. punctul [b]Q [/b]peste punctul [i]Q_{paralelograme}[/i] și se selectează, cu ajutorul cursorului corespunzător, valoarea lui [b]t[/b] la [math]\frac{P}{4}[/math].[br]Pentru [math]\varphi=90^\circ[/math], se obține pătatul de perimetru [b]P[/b].

[math]\begin{cases}[br] & \text{ } xy\cdot cos^{2}\left ( \frac{\varphi }{2} \right )+z\left ( y\cdot sin^{2}\left ( \frac{\varphi }{2} \right )+x \right )=\left ( \frac{P-t}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{t}{2} \right )^{2} \\[br] & \text{ } z= P-t-x-y[br]\end{cases}[/math][br][b][i]Observație[br][/i][/b]Această [b]curbă[/b] reprezintă [b]un[/b]/[i]o[/i] [b]arc[/b]/[i]reuniune de arce[/i] de [b]elipsă.[/b]

[math]\begin{cases}[br] & \text{ } z^{2}+y^{2}-x^{2}-2\left ( y-t \right )\left ( y-x\cdot cos\left ( \varphi \right ) \right )=t^{2} \\[br] & \text{ } z=P-t-x-y [br]\end{cases}[/math][br][b][i]Observație[br][/i][/b]Această [b]curbă[/b] reprezintă un arc de [b]hiperbolă[/b].

[code][/code][math]\begin{cases}[br] & \text{ } x^{2}+y^{2}-z^{2}-2xy\cdot cos\left ( \varphi \right )-2zt\cdot cos\left ( \varphi \right )=t^{2} \\[br] & \text{ } x+y+z=P-t \\[br] & \text{ } x_{i}\in \left ( 0,\frac{P}{2} \right ),\;i=\overline{1,4} [br]\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}[br] & \text{ } x+z=y+t=\frac{P}{2} \\[br] & \text{ } x_{i}\in \left ( 0,\frac{P}{2} \right ),\; i=\overline{1,4}[br]\end{cases}[/math]

Dacă [math]p=\frac{P}{2}[/math], atunci[br][math]\begin{cases}[br] & \text{ } x=\frac{pt(1+cos(\varphi ))}{p(1-cos(\varphi ))+2t\cdot cos(\varphi )} \\[br] & \text{ } y=p-t \\[br] & \text{ } z=\frac{p(p-t)(1-cos(\varphi ))}{p(1-cos(\varphi ))+2t\cdot cos(\varphi )} [br]\end{cases}[/math].

Se impun condițiile:[list=1][*][math]\measuredangle YZT< 180^{\circ}\Leftrightarrow \begin{cases}[br] & \text{ } t^{2}< x^{2}+\left ( y+z \right )^{2}-2x\left ( y+z \right )\cdot cos\left ( \varphi \right ) \\[br] & \text{ } x+y+z=P-t [br]\end{cases}[/math][br][/*][*][math]\measuredangle YXT< 180^{\circ}\Leftrightarrow \begin{cases}[br] & \text{ } z^{2}< y^{2}+\left ( x+t \right )^{2}-2y\left ( x+t \right )\cdot cos\left ( \varphi \right ) \\[br] & \text{ } x+y+z=P-t [br]\end{cases}[/math][br]Se obțin următoarele:[/*][/list][list][*]Dacă [math]sin\left ( \frac{\varphi }{2} \right )> \frac{t}{P-t}[/math], punctul Q trebuie să se afle în exteriorul hiperbolei de ecuație [/*][/list][math]\begin{cases}[br] & \text{ } 4y\left ( x+t \right )\cdot cos^{2}\left ( \frac{\varphi }{2} \right )+2Pz-P^{2}=0 \\[br] & \text{ } x+y+z=P-t [br]\end{cases}[/math].[br][list][*]Dacă [math]sin\left ( \frac{\varphi }{2} \right )< \frac{t}{P-t}[/math], punctul Q trebuie să se afle și în exteriorul suprafeței delimitate de dreptele de ecuații:[/*][/list][list=1][*][math]\begin{cases}[br] & \text{ } x+y+z=P-t \\[br] & \text{ } y+z=\frac{1}{2}\left ( P-t+\sqrt{\left ( \frac{t}{cos\left ( \frac{\varphi }{2} \right )} \right )^2-\left [ \left ( P-t \right )\cdot tg\left ( \frac{\varphi }{2} \right ) \right ]^2} \right ) [br]\end{cases}[/math][br] [br][/*][*][math]\begin{cases}[br] & \text{ } x+y+z=P-t \\[br] & \text{ } y+z=\frac{1}{2}\left ( P-t-\sqrt{\left ( \frac{t}{cos\left ( \frac{\varphi }{2} \right )} \right )^2-\left [ \left ( P-t \right )\cdot tg\left ( \frac{\varphi }{2} \right ) \right ]^2} \right ) [br]\end{cases}[/math][br] [br][/*][/list][justify][/justify]