Una integral doble se puede calcular mediante integración iterada, aunque cuando el dominio no es rectangula los límites de las integrales interiores no tienen por qué ser constantes. Vamos a ver [br]un ejemplo donde el dominio de integración es un semicírculo de radio [math]r[/math] centrado en el origen y cuyo diámetro está situado en el eje [math]OX[/math]. Los bordes del semicírculo se escriben en términos de las variables [math]x[/math] e [math]y[/math] (variables de integración) como[list][list][*]el borde de la circunferencia [math]x^2+y^2=r^2[/math] con [math]-r\le x\le r[/math] (en términos de [math]x[/math]) o [math]x^2+y^2=r^2[/math] con [math]0\le y\le r[/math] si se escribe términos de [math]y[/math];[/*][*]el segmento en la recta [math]y=0[/math] con [math]-r\le x\le r[/math]. [br][/*][/list][/list]Para calcular la integral de una función sobre el semicírculo, se puede [i]barrer[/i] el semicírculo mediante segmentos horizontales de longitud variable. La longitud de cada segmento, depende de la altura a la que se encuentre. Por la elección del semicírculo que hemos hecho, cada segmento horizontal a altura [math]y_0[/math] se apoya en dos lados del semicírculo (el izquierdo y el derecho). En términos de las variables, se tiene [math]y=y_0[/math](constante) y [math]x[/math] varía entre [math]-\sqrt{r^2-y_0^2}[/math] y [math]\sqrt{r^2-y_0^{^2}}[/math] (valores que se obtienen despejando [math]x[/math] de la ecuación [math]x^2+y^2_0=r^2[/math] considerando la solución positiva y la negativa. El semicírculo se barre complentamente variando la altura [math]y=y_0[/math] de [math]0[/math] (parte inferior) a [math]r[/math] (parte superior). Es decir, la integral sobre el semicírculo, [math]D[/math], de la función [math]f\left(x,y\right)[/math] se puede escribir como:[br][br][math]\displaystyle\iint_{D}f(x,y)\,dxdy=\int_{0}^r\left(\int_{-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}}f(x,y)\,dx\right)dy[/math].[br][br]Nótese que ambos límites de la integral interior son límites variables en la variable [math]y[/math] y los límites de la integral exterior son constantes (no dependen ni de [math]x[/math] ni de [math]y[/math]).[br][br]De manera análoga se puede barrer el semicírculo con segmentos verticales de longitud variable. Estos segmentos se apoyan inferiormente en el segmento rectilíneo y superiormente en la semicircunferencia. En términos de las variables de integración en este caso [math]x=x_0[/math] (constante) y la variable [math]y[/math] está entre [math]0[/math] y [math]\sqrt{r^2-x_0^2}[/math] donde el segundo límite se encuentra despejando la variable [math]y[/math] positiva en la ecuación de la circunferencia [math]x_0^2+y^2=r^2[/math] (con [math]x=x_0[/math]). Para barrer el semicírculo completamente la [math]x[/math] tiene que variar entre [math]-r[/math] y [math]r[/math]. En esta situación la integral doble se escribe.[br][br][math]\displaystyle\iint_{D}f(x,y)\,dxdy=\int_{-r}^{r}\left(\int_{0}^{\sqrt{r^2-x^2}}f(x,y)\,dy\right)dx[/math].[br][br]En este caso, la integral interior solo tiene un límite variable que depende de [math]x[/math], y como ha de ser, la integral exterior tiene límites constantes (que no dependen de las variables de integración).

Arriba a la derecha se ve el semicírculo, que es el dominio de integración. Abajo en azul está la gráfica de definida en ese dominio.[br][br]Arriba a la izquierda, al marcar la casilla "Integración primero con respecto a x" aparece [math]y[/math] con el valor [math]y_0[/math][br]indicado por el deslizador verde, a la derecha se ve sobre el semicírculo y el segmento horizontal rojo a esa altura y en la parte de abajo de la construcción se aprecia la gráfica de la función [math]f\left(x,y_0\right)[/math] (con [math]y=y_0[/math] constante y [math]x[/math] entre [math]-\sqrt{r^2-y^2}[/math] y [math]\sqrt{r^2-y^2}[/math]). La zona coloreada en rojo que aparece bajo la gráfica de representa la integral interior y el plano azul es el plano [math]y=y_0[/math]. Al variar [math]y[/math] con el deslizador va variando la zona coloreada y su integral. [br][br]De forma análoga, al marcar la casilla "Integración primero con respecto a y" aparece [math]x[/math] con el valor [math]x_0[/math] indicado por el deslizador rojo, a la derecha el segmento vertical en el dominio, y abajo la gráfica de la función [math]f\left(x_{0,}y\right)[/math] (con [math]x=x_0[/math] constante e [math]y[/math] entre [math]0[/math] y [math]\sqrt{r^2-x_0^2}[/math]). La zona coloreada en verde bajo la gráfica de [math]f\left(x_0,y\right)[/math] representa la integral interior y el plano azul es ahora el plano [math]x=x_0[/math]. Al variar [math]x[/math] con el deslizador va variando la zona coloreada y su integral. [br][br]La función [math]f[/math], se puede introducir en las casillas de entrada y el radio del semicírculo se puede cambiar con el deslizador azul.