Lambda-kuvaus on lääketieteen edistynyt kuvantamismenetelmä, jossa potilaaseen ruiskutetaan jotakin kemikaalia, joka on "viritetty" tarttumaan halutunlaiseen kudokseen; luuhun, verisuoniin, lihaksiin, sisäelimiin. Tämä aine on "värjätty" radioaktiivisella aineella (isotoopilla), jonka pitoisuus voidaan sopivan ajan päästä mitata. Radioaktiivinen isotooppi halutussa kudoksessa hajoaa, ja tuottaa hajotessaan lambdasäteitä. Nämä lambdasäteet mitataan tarkalla lambdasäde-ilmaisimilla toteutetulla mittalaitteistolla. Mittareita on potilaan joka puolella, joten kudoksesta saadaan kolmiulotteinen kuva. Mittadata kootaan lääkärille kolmiulotteisena näkyväksi malliksi tietokoneella. Kuinka tämä tapahtuu, se onkin hyvää mietittävää varsin edistyneessä sovelletussa matematiikassa.[br][br]Pitäydytään kuitenkin hieman yksinkertaisemmassa pohdinnassa, ja puhutaan vain aineen kokonaismäärästä.[br][br]Radioaktiivisen aineen määrää potilaan kehossa voidaan merkitä[br][br][math]\Large A(t) = A_0 e^{-\lambda t}.[/math][br][br]Funktio [math]\Large A(t)[/math] kuvaa radioaktiivisen aineen määraä tietyllä ajanhetkellä, [math]\Large A_0[/math] on aineen määrä alkuhetkellä, [i]t[/i] on aika, [math]\large \lambda[/math] on kullekin aineelle ominainen hajoamisvakio. Tavallisessa puheessa kuitenkin harvemmin puhutaan hajoamisvakiosta, vaan sanotaan "aineen puoliintumisaika". Tämä on aika, jonka kuluessa kyseisen isotoopin määrä on tippunut puoleen. Joillekin aineille se on tuhansia vuosia, joillekin sekunnin osia! Yleisin kuvauksissa käytetty radioaktiivinen aine on Teknetium-99m. Tämän aineen puoliintumisaika on hyvinkin tarkkaan kuusi tuntia. On tärkeää tietää, minkä ajan kuluttua radioaktiivisen aineen kokonaismäärä on tippunut riittävien turvarajojen alle.

Potilaaseen ruiskutetaan 50 mikrogrammaa Teknetium-99m:ää kuvausta varten kello 21.00 maanantaina.[br][br](a) Laske/päättele Teknetium-99m:n hajoamisvakio.[br][br][math]\Large A_0 = 50 \mu g[/math][br][br]a) Hajoamisvakio voidaan laskea puoliintumisajan avulla. Puoliintumisajaksi on annettu 6 h, joten [math]\Large t = 6.[/math]. Tällöin[br][br][math]\Large \begin{array}{rcll}[br]\frac{1}{2} A_0 &=& A_0e^{-\lambda \cdot t}&\\[br]\frac{1}{2} &=& e^{-\lambda \cdot t} &|\ln()\\\ln(\frac{1}{2}) &=& \ln(e^{-\lambda t})&\\[br]\ln(\frac{1}{2}) &=& -\lambda \cdot t\cdot \underbrace{\ln(e)}_{=1}&|\text{HUOM! logaritmisääntö}\\[br]\ln(\frac{1}{2}) &=& -\lambda \cdot t &|:(-t)\\[br]\lambda &=&-\frac{\ln(\frac{1}{2})}{6\;h}=\frac{\ln(2)}{6\;h}=\approx 0,11552\; \frac{1}{h} [br][br]\end{array}[/math][br][br](b) Milloin isotoopin määrä potilaassa on alle 0,1 mikrogramman?[br][br][math]\Large \begin{array}{rcll}[br] A &=& A_0e^{-\lambda \cdot t}&|:A_0\\[br]\frac{A}{A_0} &=& e^{-\lambda \cdot t} &|\ln()\\[br]\ln(\frac{A}{A_0}) &=& -\lambda t&|:(-\lambda)\\[br]t &=& \frac{\ln(\frac{A}{A_0})}{-\lambda} &\\[br]&=& \frac{\ln(\frac{0.1\;\mu g}{50 \; \mu g})}{\frac{\ln(2)}{6\,h}} &\\[br]&\approx& 53,946 \, h\approx 54\, h &[br]\end{array}[/math][br][br]Mainittakoon vielä, että vaikka potilaaseen ruiskutettu kuvantamisaine on radioaktiivista, jää potilaan kuvauksen yhteydessä saama kokonaissäteilymäärä kuitenkin varsin vähäiseksi.