Una secuencia {[math]a_n[/math]} converge a un número real[math]L[/math] si para todo [math]ε>0,[/math] existe un entero [math]N[/math] tal [br]que [math]|a_n−L|<[/math] [math]ε[/math] si [math]n\ge N[/math]. El número[math]L[/math] es el límite de la secuencia y escribimos

en este caso, decimos que la secuencia {[math]a_n[/math]} es una secuencia convergente. Si una secuencia no converge, es una secuencia divergente y decimos que el límite no existe. Observamos que la convergencia o divergencia de una secuencia {[math]a_n[/math]} depende solo de lo que sucede con los términos [math]a_n[/math] cuando [math]n→∞[/math]. Por lo tanto, si un número finito de términos [math]b_1,b_2[/math], …, [math]b_n[/math] se colocan antes de [math]a_1[/math] para crear una nueva secuencia. [math]b_1,b_2,[/math]... [math]b_n,[/math] al a2, .... , [br]esta nueva secuencia convergerá si {[math]a_n[/math]} converge y divergirá si {[math]a_n[/math]} diverge. Además, si la [br]secuencia {[math]a_n[/math]} converge a [math]L[/math], esta nueva secuencia también convergerá a [math]L[/math].[br]

Si una secuencia {[math]a_n[/math]} no es convergente, decimos que es una secuencia divergente. En la definición informal del límite de una secuencia, usamos los términos “arbitrariamente cerca” y “suficientemente grande”. Aunque estas frases ayudan a ilustrar el significado de una secuencia convergente, son algo vagas. Para ser más precisos, ahora presentamos la definición más formal de límite para una secuencia