[b][size=150]Parametrização de uma superfície cilíndrica[/size][/b][br][size=150][size=100][br]Uma superfície Cilíndrica é um corpo ou superfície formado por um conjunto de retas paralelas, estas geradas por um ponto pertencente a uma curva [math]\beta[/math][/size][/size] em um plano [math]\pi[/math] e um vetor diretor [math]\vec{v}[/math] que não está contido no plano [math]\pi[/math]. A curva é denominada diretriz, enquanto as retas são chamadas de geratrizes. Ou seja, [size=150][size=100] podemos definir uma superfície cilíndrica [math]S[/math] de diretriz [math]\beta[/math] e geratrizes paralelas ao vetor [math]\vec{v}[/math] como o seguinte conjunto:[/size][/size] [br][br] [math]\text{S:}\left\{P+t\vec{v}\mid P\in\beta,t\in\mathbb{R}\right\}[/math][br][br][br]A seguir, apresentamos nos applets uma curva diretriz, um vetor paralelo as geratrizes e a superfície cilíndrica gerada.[br]

Vamos demonstrar esse conceito através de alguns exemplos.[br][br]Vamos aplicar os conceitos já apresentados. Através da curva diretriz e do vetor diretor das geratrizes, determine a equação paramétrica da superfície e esboce-a.[br][br][b]Exemplo 1: Parametrização do cilindro circular reto[br][br][/b]Consideramos [math]C[/math] o círculo sobre o plano [math]\pi_{XY}[/math] de centro a origem e raio [math]R[/math] como a curva diretriz e [br][math]\vec{v}=\left(0,0,1\right)[/math], o vetor paralelo às geratrizes.[br][br]Uma parametrização de [math]C[/math] é dado por:[br][br] [math]\gamma\left(t\right):\text{\begin{cases} x(t) = R.sen(t) \\ y(t) = R.cos(t) \\ z(t) = 0 \end{cases}},\quad\forall t\in\mathbb{R}[/math] [br][br]Uma parametrização do cilindro circular reto vem dado por:[br][br] [math]f\left(t,s\right)=\left(R.cos\left(t\right),R.sen\left(t\right),0\right)+s\left(0,0,1\right)=\left(R.cos\left(t\right),R.sen\left(t\right),s\right),\quad s,t\in\mathbb{R}[/math]

[b]Caso particular com R=1.[/b]

Seja [math]C[/math] uma curva e [math]r[/math] uma reta contida num plano [math]\pi[/math].[br]A superfície de revolução [math]S[/math] de geratriz [math]C[/math] e eixo de revolução [math]r[/math] é a superfície descrita pela rotação da[br]curva [math]C[/math] em torno da reta [math]r[/math].[br]Suponha que a curva se encontra no plano [math]\pi_{XY}[/math] e queremos fazer a rotação da curva ao redor do eixo[br][math]OZ[/math].[br]Suponha também que a curva tem a seguinte parametrização:[br] [br] [math]\gamma\left(t\right):\text{\begin{cases} x(t) = \alpha(t) \\ y(t) = 0 \\ z(t) = \beta(t) \end{cases}},[/math]

Em um plano [math]\overline{\pi}_{XZ}[/math] tomamos o ponto P o qual gira em torno do eixo [math]OZ[/math] fazendo um certo ângulo [math]\theta[/math] sendo assim o ponto [math]P'[/math] no mesmo plano. Agora precisamos encontrar as coordenadas de [math]P'=\left(x',y',z'\right)[/math].

Segundo o desenho temos que:[br][br] [math]cos\left(\theta\right)=\frac{x'}{\alpha\left(t\right)},\quad sen\left(\theta\right)=\frac{y'}{\alpha\left(t\right)},\quad z'\left(\theta\right)=\beta\left(t\right)[/math][br][br]assim[br][br] [math]x'=cos\left(\theta\right)\alpha\left(\theta\right),\quad y'=sen\left(\theta\right)\alpha\left(\theta\right),\quad z'=\beta\left(t\right)[/math][br][br]logo, a parametrização da superfície obtida ao fazer a rotação da curva [math]γ\left(t\right)[/math] do plano [math]\pi_{XZ}[/math] ao redor do[br]eixo [math]OZ[/math] será:[br][br] [math]f\left(\theta,t\right)=\left(cos\left(\theta\right)\alpha\left(t\right),sin\left(\theta\right)\alpha\left(t\right),\beta\left(t\right)\right)[/math][br][br]onde [math]\theta\in\left[0,2\pi\right][/math] e [math]t\in?[/math]

[b]Exemplo 2: A esfera[br][br][/b]Consideramos o círculo [math]C[/math] de raio [math]R[/math] e centro na origem no plano [math]\pi_{XY}[/math] e fazendo rotação ao redor do[br]eixo [math]OZ[/math] obteremos a esfera.[br]A parametrização do círculo [math]C[/math] é:[br][br] [math]C\left(t\right):\text{\begin{cases} x(t) = R.cos(t)\\ y(t) = 0 \\ z(t) = R.sen(t) \end{cases} }\quad\forall t\in\left[-\pi,\pi\right][/math]

Aplicando a parametrização ao fazer a rotação ao redor do eixo [math]OZ[/math], obtemos:[br][br] [math]f\left(t,\theta\right)=\left(R.cos\left(t\right)cos\left(\theta\right),R.cos\left(t\right)sen\left(\theta\right),R.sin\left(t\right)\right)[/math][br][br]onde [math]t\in\left[-\pi,\pi\right][/math] e [math]\theta\in\left[0,2\pi\right][/math].

[b]Exemplo 3: Toro[br][/b][br]Para isso consideramos o círculo [math]C_1[/math] de raio [math]R[/math] e centro (0, 0, 0) no plano [math]\pi_{XY}[/math] e fazendo a rotação ao[br]redor do eixo [math]OZ[/math].[br]Chamamos [math]R[/math] à distância do centro ao eixo de rotação, assim temos o círculo [math]C_2[/math] de raio [math]R[/math]. Esta[br]superfície gerada por [math]C_1[/math] é chamada de toro.

A parametrização do círculo [math]C_1[/math] é: [br][br] [math]C_1\left(t\right):\text{\begin{cases} x(t) = r.cos(t) \\ y(t) = 0 \\ z(t)= r.sen(t) \end{cases} }\forall t\in\left[0,2\pi\right][/math][br][br]aplicando a parametrização ao fazer a rotação ao redor do eixo [math]OZ[/math], a parametrização do toro será:[br][br] [math]f\left(t,\theta\right)=\left(\left(R+r\cdot cos\left(t\right)\right)cos\left(\theta\right),\left(R+r\cdot cos\left(t\right)\right)sen\left(\theta\right),r\cdot sen\left(t\right)\right)[/math][br][br]onde [math]\theta,t\in\left[0,2\pi\right][/math]