Verschieben und Strecken von Potenzfunktionen

Worum geht's?

Genauso wie man den Graphen von quadratischen Funktionen [math]f\left(x\right)=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math] verschieben und strecken kann, kann man dies bei Potenzfunktionen tun.[br][br]Lass uns herausfinden, wie das funktioniert!

Ziel

Wir wollen herausfinden, welchen Einfluss die Parameter[br][list][*][math]a[/math][br][/*][*][math]d[/math][br][/*][*][math]e[/math][br][/*][/list]bei der allgemeinen Potenzfunktion der Form [math]f\left(x\right)=a\cdot\left(x-d\right)^n+e[/math] mit [math]n\in\mathbb{Z}[/math] und [math]x\ne0[/math] haben.

Vermutung

Was vermutest du, wie die Parameter den Graphen von [math]f[/math] verändern?[br][br]Mit [math]a[/math] wird der Graph ...

Mit [math]d[/math] wird der Graph ...

Mit [math]e[/math] wird der Graph ...

Erkundung

Nun wollen wir unsere Vermutung überprüfen.[br][br]Probiere die Schieberegler der nachfolgenden Aktivität erst einmal selbst aus. Über den Button oben rechts im Applet , kannst du die Regler zurücksetzen.

Stelle nun [math]n=3[/math], [math]a=1[/math], [math]d=0[/math] und [math]e=0[/math] ein (oder setze mittels des Symbols oben rechts zurück). [br]Bewege den Schieberegler für [math]a[/math] und beschreibe, wie sich die Veränderung des Faktors [math]a[/math] auf den Graphen auswirkt.

Stelle nun [math]n=3[/math], [math]a=1[/math], [math]d=0[/math] und [math]e=0[/math] ein (oder setze mittels des Symbols oben rechts zurück).[br]Verändere zuerst [math]d[/math] am Schieberegler, danach [math]e[/math]. Beschreibe, wie sich die Veränderung von [math]d[/math] bzw. [math]e[/math] auf den Graphen auswirken.

Haben die Parameter [math]a,d,e[/math] für [math]n=3[/math] eine andere Wirkung als bei quadratischen Funktionen ([math]n=2[/math])?

Ja Nein

Wähle nun ein anderes [b]gerades [/b][math]n[/math], z.B. [math]n=4[/math] und teste die Parameter [math]a,d,e[/math] erneut, um auch andere Potenzfunktionen mit geraden Exponenten zu untersuchen.[br][br]Wähle anschließend ein anderes [b]ungerades [/b][math]n[/math], z.B. [math]n=5[/math] und teste die Parameter [math]a,d,e[/math], um auch andere Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten zu untersuchen.[br][br]Wähle schließlich auch ein [b]negatives [/b][math]n[/math] und teste die Parameter [math]a,d,e[/math], um auch Potenzfunktionen mit negativen Exponenten zu untersuchen.[br][br]Haben die Parameter [math]a,d,e[/math] für beliebige [math]n[/math] eine andere Wirkung als bei quadratischen Funktionen ([math]n=2[/math]) oder kubischen Funktionen ([math]n=3[/math])?

Ja Nein

Sicherung

Fasse deine Erkenntnisse in einem Merksatz zusammen. [br][br]Die Parameter [math]a,d,e\in\mathbb{R}[/math] einer allgemeinen Potenzfunktion [math]f\left(x\right)=a\left(x-d\right)^n+e[/math] mit [math]n\in\mathbb{Z}[/math] und [math]x\ne0[/math], ...

Übung 1a

[b]Tipp: Verwende das Applet. [/b][br][br]Beschreibe, wie der Graph der Funktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=2\cdot x^3[/math] aus dem Graphen der Grundfunktion [math]g[/math] mit [math]g\left(x\right)=x^3[/math] entsteht.

Der Graph von [math]g[/math] wird mit dem Faktor 2 gestreckt. Der Graph von [math]g[/math] wird mit dem Faktor 2 gestaucht. Der Graph von [math]g[/math] wird um 2 Einheiten in x-Richtung nach rechts verschoben.

Übung 1b

Beschreibe, wie der Graph der Funktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{-2}+1[/math] aus dem Graphen der Grundfunktion [math]g[/math] mit [math]g\left(x\right)=x^{-2}[/math] entsteht.

Der Graph von [math]g[/math] wird um 3 Einheiten in x-Richtung nach links und um 1 Einheit in y-Richtung nach oben verschoben. Der Graph von [math]g[/math] wird um 3 Einheiten in y-Richtung nach rechts und um 1 Einheit in x-Richtung nach oben verschoben. Der Graph von [math]g[/math] wird um 3 Einheiten in x-Richtung nach rechts und um 1 Einheit in y-Richtung nach unten verschoben.

Übung 1c

Beschreibe, wie der Graph der Funktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=\left(-0.5\right)\cdot\left(x-1\right)^4-1.5[/math] aus dem Graphen der Grundfunktion [math]g[/math] mit [math]g\left(x\right)=x^4[/math] entsteht.

Der Graph von [math]g[/math] wird mit dem Faktor 0,5 gestaucht, an der x-Achse gespiegelt, um 1 Einheit in x-Richtung nach rechts und um 1,5 Einheiten in y-Richtung nach unten verschoben. Der Graph von [math]g[/math] wird mit dem Faktor 0,5 gestreckt, um 1 Einheit in x-Richtung nach links verschoben und um 1,5 Einheiten in y-Richtung nach unten. Der Graph von [math]g[/math] wird mit dem Faktor 0,5 gestaucht, an der y-Achse gespiegelt, um 1 Einheit in x-Richtung nach links und um 1,5 Einheiten in y-Richtung nach unten verschoben.

Übung 1d*

Der Punkt [math]A(1|3)[/math] liegt auf dem Graphen der Funktion [math]f[/math], welche aus dem Graphen der Grundfunktion [math]g[/math] mit [math]g\left(x\right)=x^{-4}[/math] durch Verschiebung hervorgegangen ist. Gib eine Funktionsgleichung für [math]f[/math] an.

Übung 1e**

Der Punkt [math]A(2|-6)[/math] liegt auf dem Graphen der Funktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=a\cdot\left(x-d\right)^n+e[/math]. Gib eine mögliche Funktionsgleichung für [math]f[/math] an mit [math]\left|a\right|\ne1[/math].

Übung 2a

Ordne die Graphen den Funktionsgleichungen zu.

Übung 2b

Bestimme die Funktionsgleichung der Form [math]f\left(x\right)=\left(x-d\right)^3+e[/math] des abgebildeten Graphen.

Übung 2c

Bestimme die Funktionsgleichung der Form [math]f\left(x\right)=\left(x-d\right)^{-6}+e[/math] des abgebildeten Graphen.

Übung 2d*

Bestimme die Funktionsgleichung der Form [math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math] des abgebildeten Graphen.