Képeskönyv a poliéderekről
Ez a GeoGebra Book a szerző szándéka szerint valóban egy képeskönyv, amely ismert és kevésbé ismert térgeometriai formákat tár olvasói elé. A síklapokkal határolt mértani testek/felületek -röviden [i]poliéderek[/i] - témakörére szorítkozva. [b]Képeskönyv [/b]nem csak abban az értelemben, hogy képek - jelen esetben mozgatható GeoGebra appok - találhatók benne, hanem abban az értelemben is, hogy az olvasók tallózgatva lapozhatna[color=#444][/color]k az egyes anyagok között, de olykor alaposabban elmélyedhetnek egy-egy érdekesnek tűnő téma részleteiben.
Table of Contents
- Egyszerű poliéderek
- Alapfogalmak
- Szabályos toroidok
- 7 lapú szabályos toroid
- 8 lapú szabályos toroid
- 9 lapú szabályos toroidok
- 10 lapú szabályos toroidok
- 11 lapú szabályos toroid
- 12 lapú szabályos toroidok
- 13 lapú szabályos toroidok
- 14 lapú szabályos toroidok
- 15 lapúszabályos toroidok
- F-24 szabályos toroid
Alapfogalmak
Egy Hexaéder (= hatlapú poliéder)
Hexaédernek nevezzük az összes olyan egyszerű poliédert, amelyet hat egyszerű sokszög határol. Ezek közül legismertebb a kocka. A legkevésbé ismert közülük talán a fenti, az un. hemiohelix. [br][br]Bár joggal feltételezhető olvasóinkról, hogy a poliéderekkel kapcsolatos alapfogalmakat ismerik, azonban szükséges lehet ezek összefoglalása, amely az alábbi pdf fájlban olvasható.[br]
Egy egyszerű poliéder
A poliédereknek egyértelmű megadásának a GeoGebrában leggyakrabban alkalmazott módja az, hogy[br][list][*]megadjuk a csúcsainak a koordinátáit;[/*][*]megadjuk az összes lapját az egy lapra eső csúcsok ciklikus felsorolásával.[/*][/list][br]Az alábbi poliédert a csúcsainak a koordinátáit felsoroló [b]V[/b] és a kombinatorikus szerkezetét meghatározó [b]F[/b] listával adtuk meg. Ezeket felhasználva maga a megjelenítés egyetlen utasítással megoldható.
P 01
A fenti megadási mód a legtöbbször nem eléggé felhasználóbarát: nem használja ki eléggé a GeoGebra lehetőségeit. Ezért ugyanezt a konstrukciót lássuk el egyre több kikészítéssel:[br][list][*]az [b]N=Sorozat(Szöveg(i, V(i)), i, 1, Hossz(V)) [/b]paranccsal "megszámoztuk" a csúcsokat a [i]V [/i]listában megadott sorrendben, ezzel követhetővé vált, hogy egy egy lapot milyen sorszámú csúcsok milyen sorrendben felsorolva állítanak elő; [/*][*]a [b]MásolásOszlopba(1,F)[/b] paranccsal átírtuk az [i]F[/i] listát a a táblázatkezelő első oszlopába;[/*][*]a [b]B1=Sokszög(Sorozat(Elem(V, Elem(A1, i)), i, 1, Hossz(A1))) [/b]paranccsal előállítottuk az első lapot, majd a [i]B1[/i] elem "lehúzásával" az összes többi lapot előállítottuk az A1 és a B1 elem kapcsolatát "örökítve" a többire. Ezzel minden lap külön-külön kezelhetővé vált, pl. külön beállítható lett a színe, áttetszősége, vezérelhető a láthatósága.[/*][/list]Ugyanakkor még nem változtathatók a csúcsok koordinátái. Mivel az a appletben elérhető a parancssor, az alábbi két paranccsal ez is megoldható. [br][list][*][b]MásolásOszlopba(3,V)[/b] -ezzel a harmadik ([i]C[/i]) oszlopában is megjelennek a poliéder csúcsai;[/*][*][b]V=C1:C7[/b] - ezzel visszatesszük a [i]C[/i] oszlop pontjait a megjelenítéshez használt [i]V[/i] listába. [/*][/list] Mint ha mi sem történt volna. De történt: most már egyenként változtathatók az egérrel, vagy a parancs sorban a poliéder koordinátái. Próbáljuk ki.[br]
Feltételezzük, hogy ismerik olvasóink a [b]Sokszög()[/b] eljárással megadható geometriai objektumok tulajdonságait, amely egyaránt alkalmazható síkbeli, vagy térbeli pontokkal adott sokszögek felvételére. Ha a pontok a felvett sorrendben önátmetsző sokszöget alkotnak, akkor azt ennek megfelelően rajzolja meg a az eljárás. Ha azonban a sokszög pontjai nincsenek egy síkban, akkor a sokszöget nem definiáltnak tekinti. [br]A kérdés az, hogy mennyire kell [u]pontosan[/u] egy síkban lenniük egy térbeli sokszög csúcsainak.[br][br]Próbáljuk ki. Miután megoldottuk, hogy a [i]C[/i] oszlop pontjai alkossák a poliédert, a parancssorba írjuk be például a [b] C3=(1,2,-1+1E-10) [/b]majd a [b] C3=(1,2,-1+1E-8)[/b] , vagyis a 3. sorszámú csúcs [i]z[/i] koordinátája előbb [i]10[sup]-10[/sup][/i] majd [i]10[sup]-8[/sup][/i] pontossággal térjen el a [i]-1 [/i]értéktől. Ez az utóbbi pont már nem illeszkedik sem a [i]{2,1,4},[/i] sem a[i] {4,5,6,7}[/i] síkra. Ugyanis a GeoGebra akkor tekint két pontot azonosnak, ha a koordinátáik legalább 10[sup]-9 [/sup]pontossággal azonosak, függetlenül attól, hogy hány tizedesjegynyi pontosan jelenítjük meg.
Dinamikusan
Bővítsük tovább ezt a programot azzal, hogy a poliéder egyértelmű megadásához elegendő csúcspontok legyenek változtathatók. Az alábbi appletben sötétkékkel jelöltük meg azokat a pontokat, amelyek tetszőlegesen változtathatók, türkizzel azokat, amelyek mozgathatók ugyan, de valamilyen kényszerpályán.[br]Konkrétabban:[br][list][*]legyen [b]s=Sík(C4,C5,C6)[/b] ; [b]C3=Pont(s)[/b] és [b]C7=Pont(s)[/b] - Ezzel elértük, hogy a {3,4,5,6,7} ötszög pontjai egy síkban legyenek;[/*][*]legyen [b]s_3=Sík(C1,C4,C3)[/b] ; [b]s_7=Sík(C6,C6,C7)[/b] ; [b]f=UtakMetszete(s_3,s_7)[/b] ; [b]C2=Pont(f) [br][/b]- Ezzel elértük, hogy a poliéder két négyszöglapja síkbeli négyszög legyen.[/*][/list]Az viszont nem biztos, hogy ezek a lapok nem lehetnek önátmetszők. Eza feltétel azonban megfelelő logikai változókkal ellenőrizhető.[br]
7 lapú szabályos toroid
Lapok száma: 7[br]Csúcsok száma: 14[br]Élek száma: 21