Getal en Ruimte M2 VERS VMBO-KGT deel 1
Getal en Ruimte M2 VERS VMBO-KGT deel 1
Table of Contents
- Symmetrie
- Kleur en symmetrie
- 2. Meetkunde
- meetkundige bijen
Kleur en symmetrie
De wandmozaiek die Escher bij zijn eerste bezoek schetste is een typisch stermotief. De Arabische ontwerpers tekenden cirkels, trokken lijnen en verbonden snijpunten tot een motief ontstond. Het geheel heeft meerdere symmetrieassen: een verticale, een horizontale en twee diagonale.
Variante
Onderstaande foto toont een variante van hetzelfde motief. Maar de kleinere motieven die een krans vormen rond het centrale motief zijn nu afwisselend groen en oranje... en weg is de symmetrie.
Geen symmetrie, maar vol met symmetrieën
De decoratie barst van de symmetrie. [br][list][*]Het centrale motief is een zestienhoekigie krans en heeft dus een draaisymmetrie van 22,5°. [/*][*]De schikking van deze centrale motieven heeft een symmetrie van 90°. [/*][*]Achthoekige bloemmotieven vormen een krans rond het centrale motief en hebben elk een draaisymmetrie van 45°. [/*][*]Bekijk je de achthoekige krans van deze bloemmotieven, dan verschijnt een systeem van loodrechte en diagonale symmetrieassen dat 22,5° gedraaid is t.o.v. het hoofdmotief.[br][/*][/list]
meetkundige bijen
vorm van een honingraat
De Romeinse dichter Varro Atacinus (1e eeuw v.C.) schreef in een werk over landbouw ("De Agri Cultura"):[br]"Heeft de kamer in de raat geen zes hoeken, evenveel als de bij poten heeft?" [br]Er zijn ook toeschrijvingen aan Aristoteles (4e eeuw v.C. ) maar die zijn twijfelachtig. Het stond nu eenmaal goed om ontdekkingen, eigenschappen en wiskundige bewijzen toe te schrijven aan beroemde personen.[br]Feit is wel dat Grieken en Romeinen zagen dat de bijen hun honingraten niet zomaar in het wilde weg bouwden, maar dat de vorm van de cellen in een honigraat meetkundig interessant was.[br]
Pappos van Alexandrië (300 n.C.)
Pappos van Alexandrië beschreef een honingraat als een stapeling van tegen elkaar geplaatste zeshoekige prisma's.
Giacomo Filippo Maraldi (1712)
Giacomo Filippo Maraldi, astronoom aan het observatorium van Parijs, stelde bij een nauwkeurig onderzoek echter vast dat de gesloten achterzijden van de cellen helemaal niet vlak waren maar gevormd werden door drie ruiten die niet in eenzelfde vlak liggen. De hoeken van deze ruiten mat hij als 109.47° en 70.53°.[br]De cellen liggen ook niet recht boven elkaar. De top van een tegenoverliggende cel past netjes in het putje dat drie naast elkaar gelegen cellen vormen.
Vragen
Formuleer eerst zelf een aantal vragen die de waarnemingen van Pappos en Maraldi bij je oproepen.[br]In de volgende werkbladen gaan we wiskundig verder in op het hoe en waarom van deze vormen.