Im vorangehenden [url=https://www.geogebra.org/m/nsb5xsay]Kapitel[/url] wurde gezeigt, wie man mit Hilfe des Differentialquotienten eine Tangentensteigung berechnen kann, z.B. [math]f'(1,5)[/math] . Wenn man als Argument in die Funktionsgleichung keine Zahl einsetzt, sondern einfach die Variable [math]x[/math], dann erhält man eine [i]Funktionsgleichung[/i] als Ergebnis. Diese Funktionsgleichung nennt man [color=#980000][b]Ableitungsfunktion[/b][/color]. Diese Ableitungsfunktion gibt also bei jedem [math]x[/math], das man einsetzt, die momentane Steigung der Funktion [math]f(x)[/math] wieder.[br][br]Verwenden wir wieder [math]f(x)=x^2[/math], dann sieht das so aus: [math]f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}h=2\,x[/math].[br]Man sagt [math]f'(x) = 2\, x[/math] ist die [color=#980000]Ableitungsfunktion der Funktion[/color] [math]f(x)[/math].

Der Differentialquotient [math]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/math] ist [b][i]die[/i][/b] Definition für eine Ableitungsfunktion.[br]Aber mit Hilfe des Differentialquotienten lassen sich Regeln entdecken, mit denen das Ableiten einfacher geht, als immer diesen Grenzwert bilden zu müssen.[br]Gehen Sie in Geogebra in den [b]CAS-Modus[/b].[br]Der Befehl "[color=#1e84cc]Grenzwert()[/color]" ist dafür da den Grenzwert ([math]lim[/math]) zu berechnen.[br]Um die Ableitungsfunktion der Funktion [math]f(x)=x^2[/math] zu bestimmen, muss man den Differentialquotienten[br][math]f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}h=2\,x[/math][br]lösen. Dafür gibt man mit Geogebra ein:[br][color=#1e84cc]Grenzwert([/color][math]\fgcolor{#1e84cc}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}[/math][color=#1e84cc], h , 0)[/color][br]Auf die gleiche Weise können Sie die Ableitungsfunktion jeder beliebigen anderen Funktion berechnen.[br]

Berechne mit Geogebra und dem Differentialquotienten die Ableitungsfunktionen (also die Tangentensteigungsfunktionen) der Funktionen:[br][list=1][*][math]p_3(x)=x^3[/math] [/*][*][math]p_4(x)=x^4[/math] [br][/*][*][math]p_5(x)=x^5[/math] [/*][*][math]p_{10}=x^{10}[/math] [/*][*][math]p_{100}=x^{100}[/math] [/*][/list][br]Erkennen Sie daraus eine Regel?[br]Leiten aus den oben erhaltenen Ergebnissen die [b]Potenzregel der Differentialrechnung[/b] ab:[br][br]Gegeben ist eine Potenzfunktion mit dem Exponenten [math]n[/math] : [math]f(x)=x^n[/math] [br]Wie lautet dann die Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] ?