Polinomio approssimante di [math]e^x[/math] intorno a zero:[br][br][math]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+...[/math][br][br]Polinomio approssimante di [math]cosx[/math] intorno a zero:[br][br][math]cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+...[/math][br][br]Polinomio approssimante di sinx intorno a zero:[br][br][math]sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...[/math]
Quale dei tre polinomi contiene [b]tutti i gradi?[/b]
[list=1][br] [/list]Quale dei tre polinomi contiene [b]solo potenze pari[/b]?
Quale dei tre polinomi contiene [b]solo potenze dispari[/b]?
Come cambiano i [b]segni[/b] nei polinomi di seno e coseno?
Se sommiamo, raggruppando, i termini di grado [b]pari[/b] e poi di grado [b]dispari[/b] del polinomio di (e^x), cosa succede?[br]--------------------------------------------------------------[br][b]RICORDA[/b]: [br]Polinomio approssimante di [math]e^x[/math] intorno a zero: [br][br][math]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+...[/math] [br][br]Polinomio approssimante di [math]cosx[/math] intorno a zero: [br][br][math]cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+...[/math] [br][br]Polinomio approssimante di sinx intorno a zero: [br][br][math]sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...[/math] [br]--------------------------------------------------------------[br]
Ricordiamo che l'unità immaginaria i è tale che [math]i^2=-1[/math]. Calcolare:[br][math]i^3[/math][br][math]i^4[/math][br][math]i^5[/math]
Completa la seguente tabella:[br][br][b]potenza[/b] [b]valore[/b][br] [math]i^1[/math][br] [math]i^2[/math][br] [math]i^3[/math][br] [math]i^4[/math][br] [math]i^5[/math][br] [math]i^6[/math][br] [math]i^7[/math][br] [math]i^8[/math][br] ...
Che tipo di ricorrenza si osserva?
Che cosa succede se al posto di [math]x[/math] mettiamo [b][math]ix[/math][/b] nel polinomio di [math]e^x[/math]?[br][br]Scrivi sotto come diventa [math]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+...[/math] facendo la sostituzione suggerita.[br]
calcoliamo le potenze:[br] [math](ix)^2=[/math][br] [math](ix)^3=[/math] [br] [math](ix)^4=[/math][br] ...
dopo aver calcolato le potenze esplicita come diventa il polinomio[br] [math]e^{ix}=[/math]
Possiamo raggruppare i termini [b]senza la [math]i[/math][/b] e quelli [b]con [math]i[/math][/b] ?[br]Scrivi sotto come diventa [math]e^{ix}[/math] con i termini separati (mettendo in evidenza il fattore comune [math]i[/math])
Considera com'è diventato il polinomio che esprime [math]e^{ix}[/math] e [br]ricorda che:[br] [math]cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+...[/math][br]e [br] [math]sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...[/math][br][br]1. Il primo gruppo di termini di [math]e^{ix}[/math] (quelli che [b]non contengono[/b] la [math]i[/math] ) a quale funzione assomiglia?[br][br][br]2. Il secondo gruppo di termini di [math]e^{ix}[/math] (quelli che [b]contengono[/b] la [math]i[/math] ) a quale funzione assomiglia?[br][br][br]3. Che cosa otteniamo quindi? Dopo queste considerazioni scrivi come possiamo esprimere [math]e^{ix}[/math][br][br][br]
Le funzioni senx e cosx sono nascoste dentro quale funzione?
La relazione che hai trovato che viene detta "La formula di Eulero", [img]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img] fu scoperta e divulgata dal matematico svizzero [b]Leonhard Euler[/b] (Eulero) nel XVIII secolo, nello specifico pubblicata nel [b]1748[/b] nella sua opera fondamentale [i]Introductio in analysin infinitorum[/i].[br]La formula collega i numeri complessi alla trigonometria, unificando la funzione esponenziale con le funzioni trigonometriche seno e coseno attraverso l'unità immaginaria.[br]Riscrivi sotto l'importante formula:
Come si trasforma la formula di Eulero se si pone [math]x=\pi[/math] ?
La formula di Eulero calcolata per [math]x=\pi[/math] da' una relazione che viene detta '[b]identità di Eulero[/b]' spesso definita la "formula più bella della matematica" perché collega cinque dei più importanti numeri matematici ([math]0,1,e,\pi,i[/math]) in un'unica equazione. Inserisci una ricerca storica del motivo per cui viene definita la formula più bella della matematica.
Inserisci una mappa concettuale del percorso fatto per arrivare alla formula di Eulero. Tale mappa deve evidenziare in modo schematico: i punti di partenza, le fasi del percorso e le conclusioni ottenute.
Fai le tue considerazioni complessive sull'attività svolta.