Se trata de un sólido platónico, poliedro regular convexo, con [b]20 caras[/b] triángulos equiláteros, que concurren 5 en cada uno de sus [b]12 vértices[/b], unidos por [b]30 aristas[/b]. Es el dual del dodecaedro.[br][br]Tiene 6 ejes de simetría pentagonal, correspondientes a cada par de vértices opuestos, 10 ejes trigonales que pasan por los centros de cada par de caras opuestas, y 15 ejes digonales que pasan por los centros de cada par de aristas opuestas.[br][br]Igualmente tiene 15 planos de simetría que contienen a un para de aristas opuestas. Cada uno de estos pares de aristas definen un rectángulo áureo de dimensiones a y [b]2ρ = φa[/b]. Hay cinco grupos de tres de estos rectángulos mutuamente perpendiculares, que se cortan en el centro del icosaedro, que es el centro de simetría del sólido.[br][br]Para calcular su volumen se puede calcular el de las pirámides que tienen vértice en su centro y base cada una de sus caras. Para hallar la altura de estas pirámides, radio r de la esfera inscrita, se toma una sección por el plano medio de dos vértices opuestos, que corta a 10 aristas en su punto medio, formando un decágono regular. El radio [b]ρ[/b] de este decágono, es el radio de la esfera tangente a las aristas del icosaedro.[br]

Alternativamente, el icosaedro se puede considerar formado por un [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Antiprisma.html]antiprisma[/url] pentagonal, cuyo volumen se calcula fácilmente mediante la [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/PrismatoideVolumen.html]fórmula del Prismatoide[/url], y dos pirámides pentagonales.[br][br]Al concurrir un número impar de caras en cada vértice, son necesarios al menos 3 colores para colorear el icosaedro sin que haya caras contiguas del mismo color. Como puede verse, también se suficiente.