Los números de Fibonacci:[br][br][b]F[sub]1[/sub] = F[sub]2[/sub] = 1, F[sub]m+1[/sub] = F[sub]m[/sub] + F[sub]m-1[/sub][/b][br][br]se obtienen en el triángulo de [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/TartagliaPascalTriangulo.html]Tartaglia-Pascal[/url], sumando los números que aparecen en las diagonales con pendiente ½

Girando el triángulo para apoyarlo sobre la fila izquierda de unos, se puede obtener una demostración combinatoria. Colocar el deslizador [color=#38761d][b]m[/b][/color] del applet anterior en [b]11[/b] para una mejor identificación.[br][br]En una retícula cuadrada, se numeran puntos consecutivos en una línea horizontal como [b]1 .. n[/b]. Por cada uno de ellos se traza una línea [b]l[sub]n[/sub][/b] de pendiente [b]-½[/b]. Se cuentan entonces de dos formas el nº de caminos [b]C[sub]n[/sub][/b] constituidos por pasos de longitud 1 hacia la derecha o hacia arriba que llevan desde el punto 1 hasta cualquier punto de la línea [b]l[sub]n[/sub][/b]. Para [b]l[sub]1[/sub][/b] y [b]l[sub]2[/sub][/b], no representadas, hay un solo camino: de cero pasos para [b]l[sub]1[/sub][/b] y de un paso horizontal para [b]l[sub]2[/sub][/b].[br][br]Esto también podría hacerse directamente sobre el triángulo, sustituyendo los pasos a la derecha por pasos hacia abajo a la izquierda, y los pasos hacia arriba por pasos hacia abajo a la derecha, desde el vértice inicial a la diagonal que nos interese. Pero queda un poco más claro como se hace a continuación.

[b]1ª forma[/b]: La línea [b]l[sub]n[/sub][/b] se alcanza por caminos con un último paso horizontal [color=#0000ff][b]C[sub]→[/sub][/b][/color] o vertical [color=#ff0000][b]C[sub]⭡[/sub][/b][/color]. Pero los [b][color=#0000ff]C[sub]→[/sub][/color][/b] provienen de [b]l[sub]n-1[/sub][/b], por lo que [b][color=#0000ff]C[sub]→[/sub][/color] = C[sub]n-1[/sub][/b], mientras que los [b][color=#ff0000]C[sub]⭡[/sub][/color][/b] provienen de [b]l[sub]n-2[/sub][/b], por lo que [b][color=#ff0000]C[sub]⭡[/sub][/color] = C[sub]n-2[/sub][/b]. Como [b]C[sub]1[/sub] = C[sub]2[/sub] = 1[/b], se concluye que [b]C[sub]n[/sub][/b] es el n-simo número de Fibonacci, [b]F[sub]n[/sub][/b].[br][br][b]2ª forma:[/b] El número de caminos que llegan a la línea [b]l[sub]n[/sub][/b] es la suma del número de caminos que llegan a cada uno de sus puntos. Para llegar a cada uno de estos puntos, hay que dar, en cualquier orden, [b]k[/b][b] pasos verticales[/b] y [b](n - 1) - 2k horizontales[/b]. En total, [b]n - k - 1[/b] pasos, de los que [b]k[/b] son verticales. Y estos pueden ir desde [b]0[/b] hasta la parte entera de [b](n - 1)/2[/b], pues la base de este triángulo tiene longitud [b]n - 1[/b] y la altura [b](n - 1)/2[/b], no existiendo punto de la cuadrícula en la recta [b]l[sub]n[/sub][/b] en la vertical del punto 1 si [b]n[/b] es par.[br][br]Se concluye por tanto que [b]F[sub]n[/sub][/b] es igual a la referida sumatoria.