Nem titkolt célunk, hogy a gömbi geometria eszköztárát, szerkesztéseit összehasonlítsuk az [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/sfpM6ctj]euklideszi[/url] -és főként . a [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe]hiperbolikus geometriai[/url] szerkesztésekkel. Ezért itt ismét felsoroljuk a [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/knyrh3mM]P-modellen[/url] bemutatott feladatainkat azzal a céllal, hogy olvasóink - jórészt önállóan - oldják meg ezeket az [url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/gvd7qxun]itt megismert eszköztárral.[/url] [br]Itt csak a valamilyen szempontból érdekesebb, újszerűbb, az előzőektől eltérő látásmódot igénylő feladatokra fogunk kitérni. [br][br]A továbbiakban, a [i]pont, egyenes, szakasz, háromszög[/i], stb. szavak [u]gömbi [/u]pontokat egyeneseket, szakaszokat háromszögeket jelentenek. Ha ettől eltérünk, azt jelezni fogjuk.

[list=1][*]Legyen adott az [i]A, B [/i]és [i]O[/i] pont. Szerkesszük meg az [i]O[/i] középpontú [i]AB[/i] sugarú kört! [br]A feladat megoldására két út is kínálkozik:[br] 1.1 [b]c=GFelezőmerőleges(O,A)[br][/b][b] C=GTükrözés(B,c)[br][/b] [b] d=GKör(O,C)[br][/b][br] 1.2 [b]e=Gszakasz(A,B)[br] f=GkörS(O,e/5)[br][/b][br][/*][*]Legyen adott az A és B pont. Szerkesszük meg az AB átmérőjű kört![br] [b] c=GFelezőmerőleges(A, B)[br][/b]  [b]C=G[/b][b]MetszéspontKAB(c, A, B)[br] d=GKör(C, A)[/b][br][br][/*][*]Vizsgáljuk meg, mekkora szög alatt látszik az AB ármérőjű G-kör pontjaiból az AB G-szakasz?[br]Az előző szerkesztést folytatva: [br] [b]P=[/b][b]Pont(d)[br] α=Gszög(A,P,B)[br][/b] [b]szöveg: [/b][b]APB∢ = +α+[/b] [br]Figyeljük meg, hogy az α szög nagysága egyrészt függ attól hogy hol helyezkedik el a [i]P [/i]pont a [i]d[/i] körön, másrészt függ az [i]AB[/i] G-szakasz hosszától: tehát Thalesz tétele nem érvényes a gömbi geometriában.[br][br][/*][*]Legyen adott az AB és CD szakasz. [u]Szerkesztéssel[/u] döntsük el, hogy melyik szakasz a nagyobb! [br]Javasolt út: [br][i] [/i][b] t=Gfelezőmerőleges(A,C)[br] E=GTükrözés(B,t)[br] f=Gkör(C,E)[br] F=GMetszéspontKAB(f,C,D)[br] a=DefiniáltE(F) [/b][br]A választ az [i]a[/i] változó tartalmazza. Megjegyezzük, hogy ezt a relációt a GeoGebra az objektumok neveihez rendelt értékekkel, tehát az AB és CD G-szakaszok (euklideszi értelemben körívek ) mértékével is jelzi.[br][br][/*][*]Legyen adott az [i]O[/i] pont, valamint a [i]t[/i][sub]1[/sub]=[i](O,A) [/i]egyenes. Legyen [i] t[/i][sub]2[/sub] a[size=100] [i]t[/i][sub]1[/sub][/size][i][/i]-re merőleges, ugyancsak[i] O[/i]-ra illeszkedő egyenes. Legyen az alapgömb egy[i] P[/i] pontjának a [i]t[/i][sub]1[/sub]-re vonatkozó tükörképe [i]P’,[/i] majd ennek a [i]t[/i][sub]2[/sub] re vonatkozó tükörképe [i]P''[/i].  Mutassuk meg, hogy [i]P''[/i] nem függ [i]t[sub]1 [/sub][/i]megválasztásától, sem a tükrözések sorrendjétől, továbbá azt, hogy [i]P[/i][i]P''[/i] szakasz felezőpontja [i]O[/i]![br]E két tengelyes tükrözés szorzatát (egymásba ágyazott végrehajtást) nevezzük az[color=#333333] [i]O pontra vonatkozó [/i][i]középpontos tükrözés[/i]nek. [br][br][/color][/*][*]Legyen adott az [i]O[/i] pont, valamint[i] [/i]a[i] t[/i][sub]1[/sub][i]=(O,A[/i][sub]1[/sub][i])[/i] és [i]t[/i][sub]2[/sub][i]=(O,A[/i][sub]2[/sub][i])[/i] két tetszőleges, [i]O[/i]-ra illeszkedő egyenes. Legyen egy tetszőleges [i] P[/i] pontnak a [i]t[/i][sub]1[/sub]-re vonatkozó tükörképe [i]P’,[/i] majd ennek a [i]t[/i][sub]2[/sub]-re vonatkozó tükörképe [i]P''[/i]. Mutassuk meg, hogy [i]P''[/i] csak az [i]O[/i] pont megválasztásától, a [i]t[/i][sub]1[/sub] és [i]t[/i][sub]2[/sub] egyenesek szögétől, és a tükrözések sorrendjétől függ. Mutassuk meg, hogy a ([i][code][/code]P,O,P''[/i])∢=2α , ahol [i] α=(A[/i][sub]1[/sub][i],O,A[/i][sub]2[/sub])∢.[br][color=#333333][br][/color][/*][/list]E két tengelyes tükrözés szorzatát nevezzük az [i]O[/i][i] pont körüli forgatásnak,[/i] ahol a forgatás szögét a két tengely szöge, irányát a tükrözések sorrendje határozza meg.Megjegyezzük , hogy az [b]GSzög()[/b] eljárás eredménye az előjel nélküli 0≤[i]α ≤180° [/i] szög, így ha [b]P[sub]1[/sub]=Gtükrüzés(Gtökrörözés(P,[i] t[/i][sub]1[/sub]),[i] [i]t[/i][sub]2[/sub][/i]) [/b]és [b]P[/b][sub]2[/sub][b]=Gtükrüzés(Gtökrörözés(P,[/b][i] t[/i][sub]2[/sub][b]),[/b][i] [i]t[/i][sub]1[/sub][/i][b]) [/b]akkor [br][b]P[sub]2[/sub]=Gtükrüzés(GEgyenes(O,P))[/b],vagyis a tükrözések sorrendjét megválasztva lényegében egy előjeles szöggel történő forgatást kaptunk.[br][color=#333333][br][/color]Lényegében a 4. és 5. feladatban azt kell megmutatnunk, hogy az abszolut geometriában bevezetett egybavágósági transzformációk a gömbi geometriában is ugyanúgy működnek.[br][br]Legyen adott az A,B,C gömbháromszög. Szerkesszük meg az euklideszi (és a hiperbolikus) geometriából ismert nevezetes vonalait és pontjait: [list][*]A magasságegyeneseit; a köré írt körét;[/*][*]belső és külső szögfelező egyeneseit, beírt és hozzáírt köreit.[br][/*][/list]

[list=1][*]Legyen [i]a[/i] és [i]b[/i] két G-egyenes(gömbi főkör)! Hány közös pontjuk van? Hány gömbkétszögre osztják a gömbfelületet?[br][br][/*][*]Legyen [i]a ,b, c [/i]három különböző (gömbi) egyenes . Hány gömbháromszöget határoznak meg? [br][br][/*][*]Legyen a∩b =C[sub]1[/sub]∧C[sub]2[/sub] , b∩c =A[sub]1[/sub]∧A[sub]2[/sub] , c∩a =B[sub]1[/sub]∧B[sub]2[/sub] ,Mutassuk meg, hogy az A[sub]1[/sub],B[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub] Δ, A[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub]C[sub]2[/sub] Δ, A1,B[sub]2[/sub], C[sub]1[/sub] Δ és az A[sub]1[/sub],B[sub]2[/sub]C[sub]2[/sub] Δ együtt egy félgömb felületet alkot.[br][br][/*][*]Hányféleképpen adható meg egy félgömbfelület a három gömbi egyenesel kapott gömbháromszögekből?[br][br][/*][*]Igaz-e, hogy az így kapott gömbháromszögek között mindig van olyan, amelynek mindhárom oldala nem nagyobb a derékszögnél?[/*][/list]Bár erősen javasoljuk olvasóinknak, hogy ezeket a kérdéseket önállóan szerkesztett demonstrációkkal illusztrálva válaszolják meg, [url=https://www.geogebra.org/m/ybgxgbqa]ezzel a demonstrációval[/url] szeretnénk megerősíteni a kérdésekre adható válaszukat, egyúttal példát mutatva a gömbi eljárások alkalmazására.[br]

[url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe]Ebben a GeoGebra book-ban[/url] találnak olvasóink olyan geometria feladatokat, amelyek euklideszi geometriában, a hiperbolikus geometriában ( közelebbről a [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/knyrh3mM]P-modellen[/url]), és a gömbi geometriában is megoldhatók. Sok tanulsággal járhat a három geometriai rendszerben kapott megoldások összeghasonlítása.[br][br][list][*][url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/huUPP2Pe]A húrnégyszög;[/url][/*][/list] Legyen adott a G-modellen az [i]A,B,C [/i]és[i] D[/i] pont, amelyek ebben a (ciklikus) sorrendben helyezkednek el a G-sík egy adott [i]s[/i] körén. Mit állíthatunk a kapott [i]ABCD[/i] húrnégyszög szögeiről?  Hogyan tudnánk a sejtésünket igazolni?[br][list][*][url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/H5zt2y4Z]Egy KöMaL feladat;[/url][/*][/list]Egy kört az [i]AB[/i] átmérője két ívre osztja. Ezek közül az egyiken kijelöljük a [i]C [/i]és [i]D[/i] pontokat. Legyen az [i]AC[/i] [i]és BD [/i]egyenesek metszéspontja [i]P[/i], az [i]AD[/i] és [i]BC[/i] egyeneseké pedig [i]Q[/i]! Mekkora szöget zár be a [i]PQ[/i] egyenes az [i]AB[/i] átmérővel? [br][list][*][url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/gs96a8hd]Egy lemma;[/url][/*][/list]Legyen [i]A, B, C, D[/i] egy egyenes négy pontja, továbbá legyen[i] M[/i] a [i]CD[/i] szakasz felező merőlegesén mozgó pont! Legyen [i]C'[/i] a C pontnak az [i](AM)[/i] egyenesre, [i]D'[/i] a [i]D[/i] pontnak a[i] (BM[/i]) egyenesre vonatkozó tükörképe![br][list][*][url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/gs96a8hd]Egy egyenest és egymást érintő körök;[/url][/*][/list]Legyen adott egy egyenesen két pont, A és B. Szerkesszünk olyan egymást érintő köröket, amelyek egyike az adott egyenest A-ban, másikat B-ben érinti. Mi a két kör közös pontjának a mértani helye? [br][list][*][url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/kQhFyRaf]Három kör;[/url][/*][/list]Legyen három, egymástól különböző pont [i]A, B[/i] és [i]C.[/i][br]Szerkesszünk három, egymást páronként érintő kört (ciklust), amelyek érintési pontjai A, B és C!