Von Termen bis zu Gleichungen und Gleichungssystemen

Birgit Lachner, Oct 13, 2016

Im Workshop sollen Möglichkeiten von GeoGebra gezeigt werden, wie man es von der Einführung von Termen mit Variablen (in Klasse 7) mit Hilfe der Grafik-Ansicht bis hin zu Gleichungen und Gleichungssystemen mit dem CAS in Kombination mit der Grafik-Ansicht genutzt werden kann. Dabei stehen vor allem die Möglichkeiten zur Nutzung von GeoGebra durch die Schüler im Mittelpunkt. Dazu werden wichtige Befehle speziell für das CAS vorgestellt und wie man sie in diesem Kontext nutzen kann.

Table of Contents

  1. Finde die optimale Größe für das Beet (Klasse 7)
    1. Beet eingrenzen - wie geht das?
    2. Werte in Tabellen festhalten
    3. Werte im Koordinatensystem festhalten
    4. Lösungsterm zur Beetfläche in GeoGebra untersuchen
  2. Welcher Telefontarif ist besser? (Klasse 7)
    1. Aufgabenstellung
    2. Lösungsterme in GeoGebra untersuchen
    3. ARBEITSBLATT GeoGebra Grafikrechner kennenlernen
  3. Bestimme das größte Volumen eine Kiste (Klasse 7)
    1. Vorbereitung auf die Aufgabe durch Basteln
    2. Maximales Volumen einer Box - Betrachtung des Schnittes
    3. Maximales Volumen einer Box - Einzelwerte zeichnen
    4. Maximales Volumen einer Box - Graph der Zuordnung mit Text
    5. Maximales Volumen einer Box - Übersicht mit 3D-Bild
    6. Lösungsterm zum Volumen in GeoGebra untersuchen
  4. Termumformungen üben und visualisieren (Klasse 7/8)
    1. Veranschaulichung des Assoziativ-Gesetzes
    2. Veranschaulichung des Distributiv-Gesetzes
    3. ÜBUNG Distributiv-Gesetz anwenden (einfach)
    4. ÜBUNG Distributiv-Gesetz anwenden (einfach, ein negativer Faktor)
    5. QUIZZE zum Distributiv-Gesetz
    6. QUIZ Terme bei Strecken und Flächen verstehen
    7. 1. Binomische Formel (mit Zahlen oder Variablen)
    8. Herleitung 2. Binomische Formel
    9. Herleitung 3. Binomische Formel
    10. Binomische Formel "hoch drei"
    11. Test - Vereinfachen von Zufalls-Text in CAS
  5. Wie formt man am besten Gleichungen um? (Klasse 8)
    1. Lösungen von einfachen Gleichungen bestimmen
    2. Quizze um die Lösungen von einfachen Gleichungen zu bestimmen
    3. Äquivalenzumformungen bisher ...
    4. Das CAS - ein toller Taschenrechner
    5. Grundlegenden Funktionen des GeoGebra-CAS (Lehrer)
    6. CAS-Nutzung für Gleichungen
    7. Lösungen von Gleichungen bestimmen lassen
    8. Einfache Gleichungen auflösen
    9. Und was machen wir bei schwierigen Gleichungen?
    10. Einfache Gleichungen lösen
    11. Eine CAS-Alternative zu GeoGebra
    12. Äquivalenzumformungen spielerisch üben
    13. Lösungen von einfachen Gleichungen bestimmen
  6. Gleichungen umformen für Fortgeschrittene (ab Klasse 8)
    1. Umformen von Formeln
    2. Lösen einer quadratischen Gleichung mit CAS
    3. Satz von Vieta
  7. Geradengleichungen (Klasse 8)
    1. ÜBUNG: Steigung von Geraden abschätzen.
    2. ÜBUNG: Steigung mit Steigungsdreieck bei y=mx ablesen
    3. ÜBUNG: Steigung mit Steigungsdreieck ablesen
    4. ÜBUNG: Steigung einer Geraden aus Punkten berechnen
    5. ÜBUNG: Einfache Geradengleichungen bestimmen
    6. ÜBUNG : Geradengleichung aus Punkten berechnen
  8. Gleichungssysteme (Klasse 9)
    1. Zusammenarbeit des GeoGebra-CAS mit der Grafik-Ansicht
    2. Beispiel für das Additionssverfahren
    3. Beispiel für das Gleichsetzungsverfahren
    4. Umgang mit Gleichungen im GeoGebra-CAS
    5. Lineares Gleichungssystem: 2 Gleichungen / 2 Variable

1.

Finde die optimale Größe für das Beet (Klasse 7)

Diese Materialien habe ich ich bereits im Unterricht in Klasse 7 eingesetzt und eines meiner Hauptziele war es, den Schülern zu zeigen, das die Verwendung einer Variable einen Vorteil bringt. Das ergibt sich letztendlich dadurch, dass mit der Verwendung der Grafik-Taschenrechners und der Eingabe des Terms man ohne weitere Rechnungen alle möglichen Fragen zu dieser Aufgabenstellung beantworten kann. Dies hat die Schüler nach deren Aussagen beeindruckt.

  • 1. Beet eingrenzen - wie geht das?
  • 2. Werte in Tabellen festhalten
  • 3. Werte im Koordinatensystem festhalten
  • 4. Lösungsterm zur Beetfläche in GeoGebra untersuchen

1.1.

Beet eingrenzen - wie geht das?

Informationen und Aufgabenstellungen
Stell dir vor, du hast 7 m von einem Rollzaun für das Eingrenzen eines Beetes, den man beliebig positionieren und verwenden kann. Das Beet muss nicht mit einer geraden Abgrenzung gebaut werden, aber da es das Ziel ist, eine [u]möglichst große Fläche zu erreichen[/u] machen gerade Abgrenzungen Sinn.[br][br]Das Beet wird an zwei Hauswände herangebaut, so dass man den Zaun nur für zwei Seiten des Beetes braucht. [br][br]Im folgenden Arbeitsblatt kannst du ausprobieren, welche Möglichkeiten es gibt, die 7 m des Zauns zu verwenden. Die Beeteinfassung wird nur braun angezeigt, wenn beide Längen zusammen genau [i](so einigermaßen!)[/i] 7 m ergeben.[br][br][list=1][*][b]Probiere ein wenig herum und schätze ab, wann man eine große und wann man eine kleine Beetfläche hat.[/b][/*][*][b]Halte im Lerntagebuch die Überschrift "Terme mit Variablen" fest.[/b][/*][*][b]Zeichne ins Heft auch ein mögliches Beispiel für ein Beet auf [i](richtige Maße, keine Skizze!)[/i] und ein falsches Beispiel.[br][/b][/*][*][b]Was kann man über Werte für Breite und Länge des Beetes sagen? Sind sie beliebig wählbar?[/b][/*][/list]
– Birgit Lachner

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

Welcher Telefontarif ist besser? (Klasse 7)

Diese Aufgaben stammt aus einer Arbeit. Die Verwendung des GeoGebra-Grafiktaschenrechners habe bei der Besprechung genutzt, um den Schülern wiederum zu zeigen, welche Vorteile die Nutzung der Terme hat. Sie erkannten dabei, dass man manche Fragestellung leichter beantworten kann, wenn man die Terme als Grapehn darstellt.

  • 1. Aufgabenstellung
  • 2. Lösungsterme in GeoGebra untersuchen
  • 3. ARBEITSBLATT GeoGebra Grafikrechner kennenlernen

2.1.

Aufgabenstellung

Aufgaben:
[list=1][*]Fülle die Tabelle aus, indem du in die Terme die gegebenen Werte für die Variable x einsetzt. Führe die Rechnungen auf dem Schreibbogen durch und achte auf die richtige Schreibweise! [/*][*]Welche der x-Werte aus Aufgabe 1.) sind nicht sinnvoll? Begründe! [/*][*]Welcher Tarif ist günstiger, wenn man pro Monat 2 h telefoniert? Nutze die Terme![br][/*][/list]
– Birgit Lachner

2.2.

–

2.3.

–

3.

Bestimme das größte Volumen eine Kiste (Klasse 7)

Diese Arbeitsblätter habe ich, nachdem ich die Aufgabenstellung das erste Mal im Unterricht ausprobiert habe, erstellt. Sie waren zunächst einmal ein Versuche, wie man Geogebra einsetzen, um diese Sachverhalte darzulegen. Im Gegensatz zum vorherigen Thema sind die Zeichnungen nicht an den Unterrichtsverlauf angepasst. Eventuell könnte man sie im Nachhinein verwenden, um die Schüler die Nutzung des Graphen mündlich beschreiben zu lassen.

  • 1. Vorbereitung auf die Aufgabe durch Basteln
  • 2. Maximales Volumen einer Box - Betrachtung des Schnittes
  • 3. Maximales Volumen einer Box - Einzelwerte zeichnen
  • 4. Maximales Volumen einer Box - Graph der Zuordnung mit Text
  • 5. Maximales Volumen einer Box - Übersicht mit 3D-Bild
  • 6. Lösungsterm zum Volumen in GeoGebra untersuchen

3.1.

Vorbereitung auf die Aufgabe durch Basteln

– Birgit Lachner

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

–

4.

Termumformungen üben und visualisieren (Klasse 7/8)

Ich zeige hier ein paar Beispiele, die man am ehesten als Tafelbilder verwenden sollte, um die Zusammenhänge zu verdeutlichen. Man könnte die Schüler beauftragen, sich für die betrachtete Zeichnung ein Beispiel herauszusuchen und dies dann mit eigenen Worten zu beschreiben. Vorher sollte dies natürlich in der Klasse besprochen werden, am besten indem man die Texte abdeckt oder löscht, damit sie nicht einfach ablesen.

  • 1. Veranschaulichung des Assoziativ-Gesetzes
  • 2. Veranschaulichung des Distributiv-Gesetzes
  • 3. ÜBUNG Distributiv-Gesetz anwenden (einfach)
  • 4. ÜBUNG Distributiv-Gesetz anwenden (einfach, ein negativer Faktor)
  • 5. QUIZZE zum Distributiv-Gesetz
  • 6. QUIZ Terme bei Strecken und Flächen verstehen
  • 7. 1. Binomische Formel (mit Zahlen oder Variablen)
  • 8. Herleitung 2. Binomische Formel
  • 9. Herleitung 3. Binomische Formel
  • 10. Binomische Formel "hoch drei"
  • 11. Test - Vereinfachen von Zufalls-Text in CAS

4.1.

Veranschaulichung des Assoziativ-Gesetzes

Diese Zeichnung dient der Veranschaulichung des Assoziativ-Gesetzes. Beim Assoziativ-Gesetz kommen Produkte vor und als Veranschaulichung für diese Produkte Flächeninhalte von Rechtecken betrachtet.[br][br]Gegeben sind drei Zahlen, die man wahlweise als Variablen darstellen kann. Es werden jeweils für die Teilflächen die Terme für die Flächeninhalte angezeigt.
Veranschaulichung des Assoziativ-Gesetzes
– Birgit Lachner

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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4.9.

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4.10.

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4.11.

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5.

Wie formt man am besten Gleichungen um? (Klasse 8)

Diese Materialien habe ich schon zweimal im Unterricht benutzt. Im ersten Durchlauf waren die Schüler nicht aktiv genug, um wirklich einen Vorteil daraus zu ziehen. Die zweite Klasse zeigte mehr Interesse an der Nutzung des CAS und war aktiver bei den Versuchen. Das Ziel bei den Versuchen, welche Umformung wann sinnvoll ist, ist vor allem nicht nur ein Schema, zu verstehen, was beim Umformen passiert und warum deshalb bestimmte Umformungen an einer Stelle sinnvoller sind.

  • 1. Lösungen von einfachen Gleichungen bestimmen
  • 2. Quizze um die Lösungen von einfachen Gleichungen zu bestimmen
  • 3. Äquivalenzumformungen bisher ...
  • 4. Das CAS - ein toller Taschenrechner
  • 5. Grundlegenden Funktionen des GeoGebra-CAS (Lehrer)
  • 6. CAS-Nutzung für Gleichungen
  • 7. Lösungen von Gleichungen bestimmen lassen
  • 8. Einfache Gleichungen auflösen
  • 9. Und was machen wir bei schwierigen Gleichungen?
  • 10. Einfache Gleichungen lösen
  • 11. Eine CAS-Alternative zu GeoGebra
  • 12. Äquivalenzumformungen spielerisch üben
  • 13. Lösungen von einfachen Gleichungen bestimmen

5.1.

Lösungen von einfachen Gleichungen bestimmen

[u]Um was geht es?[br][/u]Gesucht ist der Wert für x, damit die angegebene Gleichung erfüllt ist. Das heißt, dass die Terme rechts und links der gleichen Wert haben.[br][br][b]ACHTUNG: Daran denken, dass man immer eine Vorzeichen angeben muss.[br][/b][size=150][color=#0000ff][b][size=200]Schaffst du es, 20 Aufgaben ohne Fehler zu lösen?[/size][/b][/color][/size]
– Birgit Lachner

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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5.9.

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5.10.

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5.11.

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5.12.

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5.13.

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6.

Gleichungen umformen für Fortgeschrittene (ab Klasse 8)

Diese Ideen stammen von einem Kollegen aus Österreich und sollen vor allem zeigen, wie man das CAS auch noch nutzen könnte. Man könnte zum Beispiel die Schüler den Lösungsweg für die quadratische Gleichung nachvollziehen lassen und dabei dynamische Bezüge verwenden lassen. Wenn sie dann Parameter wie p und q verwenden, leiten sie sich selber die pq-Formel her.

  • 1. Umformen von Formeln
  • 2. Lösen einer quadratischen Gleichung mit CAS
  • 3. Satz von Vieta

6.1.

Umformen von Formeln

Ein Beispiel zum schrittweisen Umformen von Formeln:[br]Die Äquivalenzumformungen werden schrittweise durchgeführt.
Andreas Lindner
– Andreas Lindner

6.2.

–

6.3.

–

7.

Geradengleichungen (Klasse 8)

Hier sind viele Arbeitsblätter die als Übungsmaterial gedacht sind. Nach einer Besprechung im Unterricht können die Schüler nahezu beliebig viel daran üben.

  • 1. ÜBUNG: Steigung von Geraden abschätzen.
  • 2. ÜBUNG: Steigung mit Steigungsdreieck bei y=mx ablesen
  • 3. ÜBUNG: Steigung mit Steigungsdreieck ablesen
  • 4. ÜBUNG: Steigung einer Geraden aus Punkten berechnen
  • 5. ÜBUNG: Einfache Geradengleichungen bestimmen
  • 6. ÜBUNG : Geradengleichung aus Punkten berechnen

7.1.

ÜBUNG: Steigung von Geraden abschätzen.

Du sollst abschätzen, wie die Steigung der roten Geraden ist.[br][br]Es sind verschiedene Möglichkeiten vorgegeben. Wähle aus, was du vermutest und schau dir die Auswertung an. Falls deine Auswahl falsch ist, überlege, warum das so ist und vergleiche es mit der Gleichung der Funktion.[br][br]Bearbeite 10 bis 20 verschiedene Aufgaben. Du solltest erst aufhören, wenn du keine Fehler mehr machst.
ÜBUNG: Steigung von Geraden abschätzen.
– Birgit Lachner

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

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7.5.

–

7.6.

–

8.

Gleichungssysteme (Klasse 9)

Diese Arbeitsblätter sind Versuche, bei denen ich ausprobiert habe, ob ich die Lösungverfahren zu Gleichungssystemen im GeoGebra CAS durchgeführt werden können. Wie man das einsetzt, kann man sich überlegen.

  • 1. Zusammenarbeit des GeoGebra-CAS mit der Grafik-Ansicht
  • 2. Beispiel für das Additionssverfahren
  • 3. Beispiel für das Gleichsetzungsverfahren
  • 4. Umgang mit Gleichungen im GeoGebra-CAS
  • 5. Lineares Gleichungssystem: 2 Gleichungen / 2 Variable

8.1.

Zusammenarbeit des GeoGebra-CAS mit der Grafik-Ansicht

Um eine gute Zusammenarbeit zwischen CAS und der Grafik-Ansicht zu ermöglichen, hat man sich von Seiten der Programmierer bemüht, die Anzeige durch das Sichtbarmachen über den kleinen Kreis links neben der Ein-/Ausgabe-Zeile zu erlauben. Auch wenn die Anzeige nicht automatisch erfolgt ist. Dabei wird die Eingabe meist abgeändert, um die notwendigen Eingabe zu erzeugen.[br][br]Wie schon erwähnt ist die Grundvoraussetzung, dass ein im CAS definiertes Objekt dargestellt werden kann, dass es als Objekt einen Namen bekommt und definiert ist. Das gilt vor allem für Funktionen. Wenn man deshalb gleich die Objekte bei der Eingabe benennt, kann man auch einen eigenen Namen auswählen.[br]Außerdem ist noch der Unterschied erwähnenswert, ob man zum Beispiel [code]x^2[br][/code] ...[br][list][*]in die [b]Eingabezeile[/b] eingibt - es wird eine Funktion [math]f\left(x\right)=x^2[/math] erzeugt und der Graph im Koordinatensystem der Grafik-Ansicht angezeigt.[/*][/list][list][*]in dem [b]CAS[/b] eingibt - es wird als Term übernommen und angezeigt, aber keine Funktionsgraph dargestellt. Es verändert sich nichts, da keine Vereinfachungen vorgenommen werden können. Gleiches gilt für [code]y=x^2[/code]. [br][/*][/list]Die Angabe eines Namens reicht aber auch nicht, wenn man eine Funktion definieren will.[br][list][*][math]f:=x^2[/math] führt nicht dazu, dass ein Graph angezeigt wird. Die Variable f ist hier durch die Variable x definiert. Die Eingabe [code]f(5)[/code] führt zur Ausgabe von [math]x^2[/math]. Mit Hilfe von [code]Ersetzen[f,{x=5}][/code]bekomme ich aber einen Wert, nämlich 25.[/*][/list][list][*][math]f\left(x\right):=x^2[/math] dagegen erzeugt eine Funktion f, die gleich im Koordinatensystem der Grafik-Ansicht angezeigt wird. Auch [code]f(5)[/code] führt dazu, dass man den Funktionswert an der Stelle 5 berechnen bekommt.[/*][/list][br]In allen vorgenannten Fällen können die eingegebene Objekte sichtbar gemacht werden, durch Klick auf den kleinen Kreis. Es findet aber [u]immer[/u] die Anpassung an die notwendige Schreibweise bei der Eingabe statt![br][br][b][size=150]Umgang mit Gleichungssystemen[/size][/b][br]Zur Eingabe von Gleichungen für ein Gleichungssystem gibt es mehrere Möglichkeiten:[br][list][*]Man definiert die Geraden über zwei vorhandene Punkte, was mit dem Befehl [code]Gerade[Punkt1,Punkt2][/code] sowohl im CAS als auch in der Eingabezeile möglich ist. Die Gerade erhält automatisch einen Namen, den man auch bei weiteren Operationen verwenden kann, wie etwas bei Äquivalenzumformungen, Einsetzungen, Gleichsetzen, ...[/*][/list][list][*]Gibt man einen Term ohne Namen an, etwa [code]3*x-2=5*y[/code], so wird die Gleichung nicht als Gerade angezeigt. Es sind aber alle Operationen möglich, wie Äquivalenzumformungen, Einsetzungen, Gleichsetzen. Allerdings muss man bei der dynamischen Verwendung dieser Gleichung zwingend per [b]$[/b]-Symbol referenzieren, da man keinen Namen hat, mit der man die Gleichungen "ansprechen" kann.[/*][/list][list][*]Bekommt die selbe Gleichung einen Namen, wie etwa [code]I:3*x-2=5*y[/code], so wird die Gerade im Koordinatensystem angezeigt.[/*][/list][i][b]HINWEIS:[/b] Klammern und einige andere Symbole können nicht für Namen verwendet werden![/i][br]
– Birgit Lachner

8.2.

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8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

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