[br]Można pokazać, że jeśli [math]W[/math] jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych i [math]W(z_0)=0[/math], to [math]W(\overline{z_0})=0[/math].[br]Zauważmy też, że dla każdego [math]w_0=a+i b\in \mathbb{C}[/math] funkcja [math]Q(z)=(z-w_0)\cdot(z-\overline{w_0})[/math] jest funkcją kwadratową o współczynnikach rzeczywistych (uzasadnienie poniżej). [br]W konsekwencji oznacza, to [b]dowolny wielomian o współczynnikach rzeczywistych da się rozłożyć na czynniki liniowe i kwadratowe[/b].[br][br][u]Uzasadnienie[/u]:

Zapiszemy wielomian [math]W[/math] określony wzorem [math]W(z)=z^3-8[/math] w postaci czynnikowej w dziedzinie rzeczywistej i zespolonej.

Z powyższych obliczeń wynika, że w dziedzinie zespolonej dany wielomian rozkłada się na czynniki liniowe:[br][center] [math]W(z)=(z-2)(z+1-i\sqrt{3})(z+1+i\sqrt{3})[/math],[br][/center]zaś w dziedzinie rzeczywistej na czynnik liniowy i kwadratowy:[br][center][math]W(z)=\left(z-2\right)\left(z^2+2z+4\right)[/math].[/center]

Zapiszemy wielomian [math]W[/math] określony wzorem [math]W(z)=z^5+2z^3+z[/math] w postaci czynnikowej w dziedzinie rzeczywistej i zespolonej.

Z powyższych obliczeń wynika, że w dziedzinie zespolonej dany wielomian rozkłada się na czynniki liniowe (niektóre występują wielokrotnie):[br][center] [math]W(z)=z(z+i)(z+i)(z-i)(z-i)=z(z+i)^2(z-i)^2[/math],[br][/center]zaś w dziedzinie rzeczywistej na czynnik liniowy i dwa kwadratowe:[br][center][math]W(z)=z\left(z^2+1\right)\left(z^2+1\right)=z\left(z^2+1\right)^2[/math].[/center]

Podaj przykład wielomianu stopnia piątego o współczynnikach rzeczywistych, który posiada[br]a) dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty,[br]b) dokładnie trzy pierwiastki rzeczywiste.