[b][size=150]＜２点の距離＞[br][/size][/b]点Pのｘ座標をx(P),ｙ座標をy(P)と表す。（[color=#0000ff]geogebraではこれが使えます[/color]）[br]２点PQのｘ座標の差をdx(PQ）とかくとしたら、dx(PQ)=|x(P)-x(Q)|となる。[br]同様にして、dy(PQ)=|y(P)-y(Q)|[br]２点A(ax,ay),B(bx,by)があるとき線分ABの長さは[math]\sqrt{dx\left(AB\right)^2+dy\left(AB\right)^2}=\sqrt{\left(ax-bx\right)^2+\left(ay-by\right)^2}[/math][br][color=#0000ff]線分ABの傾きは(y(P)-y(Q))/(x(P)-x(Q))[br](例）[/color]３直線L,M,Nにかこまれる三角形の面積を求めよう。[br]　L:3x-y=1, M:2x+y=9, N:x+y=3。[br]　連立して求めた３交点をもとめる。[br]LMからA(2,5),MNからB(6,-3),NLからC(1,2)となる。[br]　AB²=(2-6)²＋(5+3)²=80,　CB²=(6-1)²＋(-3-2)²=50　AC²=(2-1)²＋(5-2)²=10[br] AB[sup]2[/sup]+CB[sup]2[/sup]-AC[sup]2[/sup]=80+50-10=120、AB･AC＝2√(80×50)=20√10[br]　角ABC＝θとすると、cosθ＝120/40√10=[math]\frac{3}{\sqrt{10}}[/math]、[br]よってsinθ＝[math]\sqrt{(1-(3/\sqrt{10})^2)}[/math]=[math]\frac{1}{\sqrt{10}}[/math]。[br]　三角形ABCの面積＝1/2AB･ACsinθ＝[math]\frac{1}{2}20\sqrt{10}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=10[/math][br] [color=#0000ff]※3点の座標が具体的に求められときは、小中学生の面積の出し方の方が速い。[br]　しかし、座標が複雑でも辺の長さが簡単になるときや、[br]　[u]座標が変数[/u]になって、位置関係があいまいになるときには役立つでしょう。[br][/color][b][size=150][color=#0000ff]＜[/color]３点の位置と比＞[/size][/b][br]ｘ軸上の３点、a,p,bが正の数のとき、[br]A(a,0),P(p,0),B(b,0)で[color=#0000ff]AP:PB=|p-a|:|b-p|=m:n（ｍ，ｎは正）[/color]とする。[br]・Pが内分点のとき[color=#0000ff]PB＝b-pになる[/color]から、[color=#0000ff][b](p-a):(b-p)=m:nとなる。np-na=mb-mp[/b][/color][br] (n+m)p=mb+naとなるから、[math]p=\frac{mb+na}{m+n}[/math]([color=#0000ff]比と点位置がたすきがけ[/color]になる。）[br]・Pが外分点でm>nのときは、[math]p=\frac{mb-na}{m-n}[/math][br]　[color=#0000ff]PB＝-(b-p)となる。内分の式のmかｎを負にした比例式になる。[br]　式の整理をしてもこれは引きずるから、最後の式の[i]n[/i]を-[i]n[/i]にする。[br][/color]一般の内分、外分は、座標ごとに上記の式を使えば良い。[br]・PがABの中点になるとき、m=n=1になる内分になるから[math]p=\frac{a+b}{2}[/math][br]重心の位置は、x軸では３つの座標の平均になり、ｙ軸も同様。[math]g=\frac{a+b+c}{3}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]平行四辺形ABCDの３点の座標A(2,2),B(3,0),D(-1,1)からCの座標を求めよう。[br] C(x,y)として、ACの中点の座標とBDの中点の座標が等しいことを使う。[br]だから、座標の和も等しい。[br]　BDの中点（3-1)/2=1,(0+1)/2=1/2から(1, 1/2)。[br]ACの中点(2+x)/2=1, (2+y)/2=1/2から、C(x,y)=(0,-1）。[br][br]

[b][size=150]＜直線の方程式＞[br][/size][/b]・2点A(a[sub]x[/sub],a[sub]y[/sub]),B(b[sub]x[/sub],b[sub]y[/sub])を通る直線の式は[math]y-a_y=\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x}\left(x-a_x\right)[/math] [br]（理由）[br]線分ABの傾き(y(A)-y(B))/(x(A)-x(B))をもつ比例のグラフを[br]点Aか点Bを通るように平行移動するから。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color]平行四辺形ABCDの３点の座標A(2,2),B(3,0),D(-1,1)からCの座標を求めよう。[br]　点Dを通り傾きABの直線の式は(y-1)=(x+1)(2-0)/(2-3)から、y=-2x-1[br] 点Bを通り傾きADの直線の式はy=(x-3)(2-1)/(2-(-1))から、y=1/3x-1。[br]　２式を連立して、x=0、代入してy=-1となる。C(0,-1)[br][size=150][size=100][color=#0000ff]（例）[/color]直線(k+1)x+(k-1)y-3k-1=0がｋの値によらず通る定点の座標は？[br]　k=1としてx=2。k=-1としてy=1。定点C＝(2, 1)。[br]　式変形により、(1-k)(y-1)=(1+k)(x-2)となり、[br]点C通過の直線であると十分言える。[br] （別解）ｋについて整理すると、k(x+y-3)+(x-y-1)=0で、[br]Cはx+y-3もx-y-1も0にするから２直線の交点。[br]　このことを使って、k･0+0=0となるx,yが定点の座標であるという求め方もある。[br][/size][/size]

[size=150][size=150][b]＜２直線の平行と垂直＞[/b][/size][size=100][br]・y=mx+p,ｙ＝nx+qの位置関係[br]　平行ならば傾きは等しいからm=n。[br]　垂直ならば[color=#0000ff]傾きが逆数で符号が逆[/color]だから、積が−１となり、n=ー１/m。[br]・ax+by+p=0とcx+dy+q=0の位置関係。[br]　陽関数に治すと、傾きｍ＝-a/b, m=-c/d。[br]　平行ならばa/b=c/dから、ad-bc=0。（c:d=a:b）[br]　垂直ならば-a/b・-c/d=-1から、ac+bd=0（c:d=b:(-a)）[br][br][/size][b]＜点と直線の距離＞[br]・点P(m,n)を通り直線l:ax+by+c=0と垂直な直線は　[/b][math]\left(y-n\right)=\frac{b}{a}\left(x-m\right)[/math][size=100] [br]　（理由）[br] 　lの傾きが-a/bだから、逆数の逆符号でb/aとなる。[br]点Pの座標を代入して0=0になるようにする。[br][/size][/size]・[b][size=150]点P(m,n)から直線l:ax+by+c=0におろした垂線の長さは[/size][/b][math]\frac{\left|am+bn+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math][br]　（理由）[br]　ｌ上にある垂線の足を点Q(q,r)とする。[br] PQを通る直線の式は[math]\left(y-n\right)=\frac{b}{a}\left(x-m\right)[/math]で、[br]Qの座標を代入すると[math]\left(r-n\right)=\frac{b}{a}\left(q-m\right)[/math]となる。[br] だから、 PQ=[math]\sqrt{\left(q-m\right)^2+\left(r-n\right)^2}=\sqrt{\left(q-m\right)^2+\frac{b^2}{a^2}\left(q-m\right)^2}=\left|\frac{q-m}{a}\right|\sqrt{a^2+b^2}[/math]。[br]　 一方、直線l（y=-c/b-a/b x）と直線PQ（ y=b/a(x-m)+n）の交点のｘ座標は、[br]　q=[math]\frac{\left(-abn-ac+b^2m\right)}{a^2+b^2}[/math]。[br]　これを代入・整理して、[math]\left|\frac{q-m}{a}\right|=\left|\frac{-abn-ac+b^2m-a^2m-b^2m}{\left(a^2+b^2\right)a}\right|=\left|\frac{abn+a^2m+ac}{\left(a^2+b^2\right)a}\right|=\left|\frac{am+bn+c}{a^2+b^2}\right|[/math]。[br] [br] したがって、PQ=[math]\frac{\left|am+bn+c\right|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{\left|am+bn+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]。[br][br][color=#0000ff](例）[/color]３直線L,M,Nにかこまれる三角形の面積を求めよう。[br]　L:3x-y=1, M:2x+y=9, N:x+y=3。[br]　連立して求めた３交点をもとめる。[br]　LMからA(2,5),MNからB(6,-3),NLからC(1,2)となる。[br] Aから直線Nまでの距離AHは[b][math]\frac{\left|1\cdot2+1\cdot5-3\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt{2}[/math][br][/b]　CB²=(6-1)²＋(-3-2)²=50から、BC=[math]\sqrt{50}=5\sqrt{2}[/math][br] 三角形ABCの面積＝1/2・BC・AH＝[math]\frac{1}{2}2\sqrt{2}\cdot5\sqrt{2}=10[/math]。[br][color=#0000ff]　※余弦定理を使うよりは、辺の長さの計算が１回ですみ、高さも素早く出せるので役立つ。[/color]