[justify]Agora que já aprendemos como determinar o volume de uma esfera, vamos usar esse resultado para verificar o cálculo da área de uma superfície esférica. Uma esfera pode ser imaginada como a reunião de vários sólidos, parecidos com "pirâmides", de vértices em C (centro da esfera), como representado na figura a seguir.[/justify]

[justify]De fato, esses sólidos não são verdadeiramente pirâmides, pois a "base" de cada sólido é uma superfície arredondada. Entretanto, vê-se que, quantos mais sólidos considerarmos, mais a base deixa de ser arredondada e se torna mais plana, se aproximando, assim, da forma de uma pirâmide. [br][br]A altura de cada "pirâmide" é o raio [math]r[/math] da esfera.[br][br]Considere uma esfera de centro C decomposta em uma quantidade de [math]n[/math]sólidos parecidos com pirâmides cujos vértices se encontram no centro da esfera. Desse modo, a superfície esférica fica dividida em [math]n[/math] "polígonos", bases das pirâmides, cujas áreas chamaremos de S1, S2, S3, ..., Sn. Para n muito grande, cada "polígono" tem área e perímetro muito pequenos e a soma das áreas de todos esses polígonos se aproxima da área da superfície esférica S:[br][br][br][math]S1+S2+S3+...+Sn\simeq S[/math] I[/justify]

Além disso, quanto maior for o número n, mais a soma dos volumes de todas essas "pirâmides" se aproxima do volume da esfera. O volume de uma pirâmide é dado por [br][br][br][math]V_{pirâmide}=\frac{1}{3}.S_b.h[/math]e, sendo [math]h[/math] = [math]r[/math] (raio da esfera) e [math]S_b[/math] = [math]S_i[/math], que é a área do i-ésimo polígono, podemos [br][br]escrever o volume da i-ésima pirâmide como [math]V_i=\frac{1}{3}S_i.r[/math], [math]i[/math] = 1, 2, ..., n. [br][br]

Assim, se V é o volume da esfera, para n muito grande, temos:[br][br][math]V\simeq V_1+V_2+V_3+...+V_n[/math][br][br][br][math]V\simeq\frac{S_1.r}{3}+\frac{S_1.r}{3}\frac{S_2.r}{3}+\frac{S_1.r}{3}\frac{S_3.r}{3}+...+\frac{S_n.r}{3}=\frac{1}{3}.r(S_1+S_2+S_3+...+S_n)[/math] II[br][br]Substituindo I em II :[br][br][math]V\simeq\frac{1}{3}S.r[/math][br][br]Logo, como [math]V=\frac{4}{3}.\pi.r^3[/math] , temos: [math]\frac{4}{3}.\pi.r^3\simeq\frac{1}{3}.S.r\Longrightarrow[/math] [math]S\simeq4.\pi.r^2[/math][br][br]Vimos que, quanto maior for o número [math]n[/math], mais [math]S[/math] se aproxima de [math]4.\pi.r^2[/math]. Logo, fazendo n tender ao infinito, obtemos a igualdade [math]S=4.\pi.r^2[/math]

Assim, se V é o volume da esfera, para n muito grande, temos:[br][br][math]V\simeq V_1+V_2+V_3+...+V_n[/math][br][br][br][math]V\simeq\frac{S_1.r}{3}+\frac{S_1.r}{3}\frac{S_2.r}{3}+\frac{S_1.r}{3}\frac{S_3.r}{3}+...+\frac{S_n.r}{3}=\frac{1}{3}.r(S_1+S_2+S_3+...+S_n)[/math] II[br][br]Substituindo I em II :[br][br][math]V\simeq\frac{1}{3}S.r[/math][br][br]Logo, como [math]V=\frac{4}{3}.\pi.r^3[/math] , temos: [math]\frac{4}{3}.\pi.r^3\simeq\frac{1}{3}.S.r\Longrightarrow[/math] [math]S\simeq4.\pi.r^2[/math][br][br]Vimos que, quanto maior for o número [math]n[/math], mais [math]S[/math] se aproxima de [math]4.\pi.r^2[/math]. Logo, fazendo n tender ao infinito, obtemos a igualdade [math]S=4.\pi.r^2[/math]

[justify]1-A professora Cristina produziu com os estudantes de sua turma da pré-escola enfeites de Natal no formato de esferas, com 12 [math]cm[/math] de diâmetro cada uma. Para pintar a superfície dessas esferas, ela dispõe de uma latinha de tinta, na qual o fabricante afirma ser possível pintar até 5 [math]m^2[/math] de superfície com esse conteúdo. Nessas condições, qual é o número máximo de enfeites que a turma de Cristina poderá pintar?[/justify][br][b]Resolução[/b][br][br]Em cada esfera: [math]r=\frac{12}{2}\Longrightarrow r=6cm.[/math][br][br][math]S_{esfera}[/math] [math]=4.\pi.r^2=4.\pi.6^2[/math][br][br][math]S_{esfera}[/math][math]=144\pi cm^2[/math][br][br]Considerando [math]\pi=3,14,[/math]temos: [br][br][math]S_{esfera}[/math][math]=452,16cm^2.[/math][br][br]Como é possível pintar até 5 [math]m^2[/math](50 000 [math]cm^2[/math]) com a latinha de tinta, temos: [math]\frac{50000}{452,16}\simeq110,58[/math][br][br]Portanto, a turma da professora Cristina poderá pintar até [b]110 enfeites.[/b]

2-Uma esfera cuja superfície tem área igual a 676p [math]cm^2[/math]. Nessas condições, determine:[br][br]a) a medida do raio da esfera;[br][br]b) o volume da esfera.

[b]Resolução[/b][br][br]a) Cálculo do raio da esfera:[br][br][math]S=676.\pi\Longrightarrow4.\pi.r^2=676\pi\Longrightarrow r^2=169[/math][br][br]Como r é positivo, temos [math]r=13.[/math]/ Portanto, o raio da esfera é [math]r=13cm.[/math][br][br]b) Cálculo do volume:[br][br][math]V=\frac{4}{3}.\pi.r^3\Longrightarrow V=\frac{4}{3}.\pi.13^3\Longrightarrow V=\frac{8788}{3}\pi[/math]/ ou seja [math]V=\frac{8788}{3}\pi cm^3[/math][br][br]Portanto, o volume da esfera é [math]V=\frac{8788}{3}\pi cm^3[/math]

1-Uma esfera de raio 8 cm é seccionada por um plano distante 5 cm de seu centro.

3-Abaixo temos a ilustração de um semicírculo como mostra a janela de visualização em 3D.