[color=#0000ff][b]Многогранники можно выделить в следующие группы:[/b][/color][br]1. Правильные многогранники (Платоновы тела); [br]2. Выпуклые однородные многогранники - полуправильные многогранники (Архимедовы тела); [br]3. Звёздчатые формы и соединения;[br]4. Невыпуклые однородные многогранники (усечённые многогранники); [br]5. Призмы;[br]6. Пирамиды;[br]7. Многогранники, не входящие ни в одну из названных групп.

​[color=#0000ff][b]Платоновы тела. Платоновы многогранники[/b][/color][br][br][url=https://mnogogranniki.ru/platonovy-tela.html][img]https://mnogogranniki.ru/images/statya/platonovy%20tela/platonovy%20tela%203.jpg[/img][/url][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br][br]Именем Древнегреческого ученого - Платона названа группа из пяти геометрических тел. Пять многогранников, которые математики называют - правильные, мы чаще всего в обычной речи называем - Платоновы тела.[br][br][br][url=https://mnogogranniki.ru/tetraedr.html][img]https://mnogogranniki.ru/images/statya/platonovy%20tela/tetraedr.jpg[/img][/url][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​тетраэдр[br][br][url=https://mnogogranniki.ru/oktaedr.html][img]https://mnogogranniki.ru/images/statya/platonovy%20tela/oktaedr.jpg[/img][/url][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​октаэдр[br][br][url=https://mnogogranniki.ru/geksaedr.html][img]https://mnogogranniki.ru/images/statya/platonovy%20tela/kub.jpg[/img][/url][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​куб[br][br][url=https://mnogogranniki.ru/dodekaedr.html][img]https://mnogogranniki.ru/images/statya/platonovy%20tela/dodekaedr.jpg[/img][/url][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​додекаэдр[br][br][url=https://mnogogranniki.ru/ikosaedr.html][img]https://mnogogranniki.ru/images/statya/platonovy%20tela/ikosaedr.jpg[/img][/url][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​икосаэдр[br][br][br][b]Почему эти пять геометрических тел, прежде всего, называют - правильные многогранники?[/b][br][br]Это весьма легко запомнить. Стороны правильных многогранников являются правильными многоугольниками. А правильные многоугольники это те у которых, в свою очередь, равны все стороны (например: треугольник, квадрат) и равны углы между соседними сторонами. Причина возникновения слова правильные именно в этом.[br][br]​

​[color=#0000ff][b]Многогранники Архимеда - 13 полуправильных многогранников[/b][br][/color][br][url=https://mnogogranniki.ru/mnogogranniki-arkhimeda.html][img]https://mnogogranniki.ru/images/statya/mnogogranniki%20arhimeda/all%20arhimed%20tela.jpg[/img][/url][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br][br]Древнегреческому ученому Архимеду принадлежит открытие 13 многогранников - "архимедовых тел", которые так же именуют полуправильными многогранниками. Каждое из них ограничено неодноименными правильными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники. Кроме того, в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней. В одинаковом порядке каждое из этих тел может быть вписано в сферу.[br][br][b]Почему все архимедовы тела часто называют полуправильные многогранники?[/b][br][br]Каждое из 13-ти Архимедовых тел является полуправильным многогранником  по своим математическим свойствам. При этом надо помнить, что далеко не все полуправильные многогранники можно назвать архимедовыми, так как в группу полуправильных многогранников входит гораздо больше геометрических тел, а количество архимедовых многогранников очень мало - всего тринадцать. Впервые увидев эти 13 названий - "голова идет кругом". Всё смешивается. Однако запомнить и разобраться все-таки можно.[br][br][b]Как выглядит каждое из 13-ти Архимедовых тел? [/b][br][br][img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/006/Usechyonnyj_tetraehdr120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]1. Усечённый тетраэдр[br][br] [img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/007/Usechyonnyj_oktaehdr120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]2. Усечённый октаэдр[br][br][br] [img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/008/Usechyonnyj_kub_120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]3. Усечённый куб (гексаэдр)[br][br] [br][img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/010/Usechyonnyj_dodekaehdr_120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]4. Усечённый додекаэдр[br][br][br][img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/009/Usechyonnyj_ikosaehdr_120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]5. Усечённый икосаэдр[br][br] [img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/011/Kubooktaehdr_120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]6. Кубо-октаэдр[br][br] [br][img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/013/Rombokubooktaehdr_120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]7. Ромбо-кубо-октаэдр[br][br] [br][img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/015/Rombo-usechyonnyj kubo-oktaehdr_120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]8. Ромбо-усечённый кубо-октаэдр[br][br] [br][img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/017/Ploskonosyj_kub_120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]9. Плосконосый куб (курносый куб)[br][br] [br][img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/012/Ikosododekaehdr_120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]10. Икосо-додекаэдр[br][br] [br][img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/014/Usechennyj_ikosododekaehdr_120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]11. Усечённый икосо-додекаэдр[br][br][br] [img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/016/Rombousechyonnyj_ikosododekaehdr_120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]12. Ромбо-усечённый икосо-додекаэдр[br][br][br][img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/018/Ploskonosyj_dodekaehdr_120.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]13. Плосконосый додекаэдр (другое название курносый додекаэдр)[br][br]​

​[color=#0000ff][b]Звёздчатые формы и соединения[/b][/color][br][br]Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты  Кеплером, а два других почти 200 лет спустя построил Пуансо (1777—1859). Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней или ребер. [br][br]Из тетраэдра, куба и октаэдра звездчатые многогранники не получаются. Рассмотрим додекаэдр.[br][br][br][br]малый звездчатый додекаэдр[img width=165,height=174]https://ucarecdn.com/e1fbc213-9d4d-4b24-803a-df9967ad1583/[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br] [br]большой  додекаэдр    [img width=150,height=160]https://ucarecdn.com/8598a45c-0dde-45dc-baf8-9a3241fcb972/[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br]большой звездчатый додекаэдр                           [img width=169,height=163]https://ucarecdn.com/eb021d8e-390f-4ff5-80b7-f531d90a8f83/[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br] [list][*]большой икосаэдр    [img width=189,height=189]https://ucarecdn.com/71a7b0d7-c6eb-428c-b3ed-05df6bcc52da/[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img][/*][/list][br][br]Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.[br][br]У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3.[br][br]Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.[br][br]Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм, называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.[br][br]Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.[br][br]Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти. Следующая звёздчатая форма - завершающая.[br][br]Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первая из них является соединением куба и октаэдра.[br][br]Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм, первая из которых есть соединение икосаэдра и додекаэдра.[br][br]Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера — Пуансо.[br]​

​[b] [color=#0000ff]Правильные призмы[/color][/b][br][br][br][b][url=https://mnogogranniki.ru/pravilnye-prizmy.html][b][img]https://mnogogranniki.ru/images/vid/200/350.jpg[/img][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[/b][/url][/b][br][br]Призма - это многогранник, две грани которого, многоугольники по форме, являются основаниями, остальные грани (боковые грани) имеют форму параллелограмма.[br][br][b]Правильной призмой[/b] - является призма, у которой в основаниях правильные многоугольники, а боковые грани равные прямоугольники.[br][br]Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы.[br][br]В зависимости от числа углов основания, правильные призмы различают:[br][br]- треугольные или трехгранные призмы;[br][br]- четырехугольные или четырехгранные призмы;[br][br]и т.д.[br][br][br]

​[color=#0000ff][b]Правильные пирамиды[/b][/color][br][br][br][url=https://mnogogranniki.ru/prav-piramidy.html][img width=220,height=220]https://mnogogranniki.ru/images/vid/300/right_350.jpg[/img][/url][img width=15,height=15]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]​[br][br]Пирамида - это многогранник, одна из граней которого является основанием, остальные грани это треугольники, имеющие общую вершину.[br][br][b]Правильной пирамидой [/b]- является пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит точно через его центр в основании.[br][br]Высота пирамиды - это перпендикулярный отрезок, проведенный через вершину пирамиды к плоскости её основания.[br][br]В зависимости от числа углов основания, правильные пирамиды различают:[br][br]- треугольные или трехгранные пирамиды;[br][br]- четырехугольные или четырехгранные пирамиды;[br][br]и т.д.[br][br]​