[size=85][right][size=50][size=50][i][b][size=50]Diese Aktivität ist auch eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [br][/size][/b][/i]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](16.10. 2019, verbessert 09.11.)[br][/b][/color][/size][/size][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/right][color=#ff0000][i][b][size=50]Die Wirkung der Schalter erfolgt meist sehr verzögert![/size][/b][/i][/color][br][br]Die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] von 4 verschiedenen Punkten [math]e_1,e_2,e_3,e_4\in\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}[/math] - identisch mit der [i][b][br] absoluten Invariante[/b][/i] von [color=#0000ff][i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i][/color] des Typs [math]\left(w'\right)^2=\left(w-e_1\right)\cdot\left(w-e_2\right)\cdot\left(w-e_3\right)\cdot\left(w-e_4\right)[/math] - [br]führt auf eine interessante [color=#274E13][i][b]konforme[/b][/i][/color], also [color=#9900ff][i][b]komplex-differenzierbare Funktion[/b][/i][/color], die wir im Applet oben versuchen darzustellen.[br][br]Die Lage von 4 [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] [math]z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C}[/math] in der [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene [math]\mathbb{C}[/math] ist - unter Berücksichtigung der [i][b]Reihenfolge[/b][/i] - [br]eindeutig festgelegt durch ihr [color=#9900ff][i][b]komplexes Doppelverhältnis[/b][/i][/color] [math]d=Dv\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)=\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}\cdot\frac{z_2-z_4}{z_1-z_4}[/math].[br]D.h.: Stimmen für 2 Punkte-Quadrupel [math]\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)\mbox{ und }\left(w_1,w_2,w_3,w_4\right)[/math] die [color=#9900ff][i][b]Doppelverhältnisse[/b][/i][/color] überein, [br]so gibt es genau eine gleichsinnige [color=#9900ff][i][b]Möbius-Transformation[/b][/i][/color], welche die Punkte aufeinander abbildet[br] - unter Beibehaltung der Reihenfolge![br]Bei Umsortieren der 4 Punkte treten als Doppelverhältnis folgende Werte auf:[br][/size][list][*][size=85] [math]d,\frac{1}{d},1-d,\frac{1}{1-d},\frac{d}{1-d},\frac{1-d}{d}[/math] mit [math]d=Dv\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)[/math].[br][/size][/*][/list][size=85]Die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] von 4 [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] berechnet sich mit Hilfe dieses [color=#9900ff][i][b]Doppelverhältnisses[/b][/i][/color]: [br][/size][list][*][size=85] [math]J=\frac{1}{27}\cdot\left(\frac{d+1}{d-1}\right)^2\cdot\left(\frac{d-2}{d}\right)^2\cdot\left(2d-1\right)^2[/math].[br][/size][/*][/list][size=85][color=#ff0000][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] lassen sich nur dann durch eine [color=#9900ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] auf [color=#ff0000][i][b]4 andere Punkte[/b][/i][/color] abbilden, [br]wenn deren [i][b]absolute Invarianten[/b][/i] übereinstimmen! [size=50]Siehe dazu das [color=#980000][i][b]book-Kapitel[/b][/i][/color] [math]\hookrightarrow[/math] "[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168947]möbiusebene Lage von 4 Punkten[/url]".[/size][br][br]Zu [color=#ff0000][i][b]4 verschiedenen Punkten[/b][/i][/color] gibt es ein [math]\hookrightarrow[/math] [i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/uQfTt4c6]euklidisches KOS[/url][/b][/i], in welchem die Punkte [br]durch [math]f,\frac{1}{f},-f,-\frac{1}{f};f\in\mathbb{C}[/math] dargestellt werden; wir nennen dies: [color=#9900ff][i][b]Darstellung in Normalform[/b][/i][/color]! [br]Die [color=#ff0000][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] besitzen damit das [color=#9900ff][i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][/color] [math]d=\frac{4\cdot f^2}{\left(1+f^2\right)^2}[/math]. [color=#ff7700][size=50](verbessert: 09.11.)[/size][/color].[br][br]Wir untersuchen das [color=#9900ff][i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][/color] [math]d[/math] und die [i][b]Absolute Invariante[/b][/i] [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] als [color=#980000][i][b]komplexe Funktion[/b][/i][/color] von [math]z=f[/math].[br][br]Die komplex-differenzierbare Funktion [math]z\mapsto \mathbf{\mathcal{J}}\left(z\right)[/math] wird als Quotient zweier Polynome von ziemlich hoher Ordnung [br]natürlich nur mit ziemlich großem Rechenaufwand darstellbar sein; daher ist im Applet oben vorgesehen, [br]dass die Eigenschaften in Abhängigkeit von den Parametern nur schrittweise zu erkunden sind![br][br]Einige Eigenschaften von [math]z\mapsto \mathbf{\mathcal{J}}\left(z\right)[/math]:[br][/size][list][*][size=85]Die Funktion [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] ist invariant unter der [color=#674ea7][i][b]OKTAEDER-Gruppe[/b][/i][/color]: man betrachte die [color=#ff00ff][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color]! [br]Die [/size][size=85][color=#674ea7][i][b]OKTAEDER-Gruppe[/b][/i][/color] besteht aus 24 [color=#ff00ff][i][b]Kreis-Spiegelungen[/b][/i][/color] und 24 gleichsinnigen [color=#9900ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color]; [br]ein Punkt [math]z_0[/math] besitzt in der Regel 47 Bilder! Für alle diese Punkte [math]z'_0[/math] gilt: [br][math]\mathbf{\mathcal{J}}\left(z'_0\right) = \mathbf{\mathcal{J}}\left(z_0\right)[/math] oder [math]\mathbf{\mathcal{J}}\left(z'_0\right) = \overline{\mathbf{\mathcal{J}}\left(z_0\right)}[/math].[/size][/*][*][size=85]Die Funktion [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] bildet das Innere des [color=#980000][i][b]Kreis-Dreiecks[/b][/i][/color] [color=#980000][b]prs[/b][/color] auf die [color=#38761D][i][b]obere Halbebene[/b][/i][/color] [math]y>0[/math] ab.[br]Der [color=#980000][i][b]Rand des Dreiecks[/b][/i][/color] wird abschnittsweise auf die [color=#980000][i]reelle Achse[/i][/color] abgebildet![/size][/*][*][size=85]Die Funktion [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] beschreibt die Lage der [color=#ff0000][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] [math]z,-z,\frac{1}{z},-\frac{1}{z};\; z\ne1[/math]: ist [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] reell und [math]\ge0[/math], [br]so liegen die [color=#ff0000][i][b]Punkte [/b][/i][/color]auf dem [color=#980000][i]Einheitskreis[/i][/color] oder den [color=#980000][i]Achsen[/i][/color]; [br]also allgemein: ist die [i][b]absolute Invariante [/b][/i]eine nicht-negative reelle Zahl, so sind die [color=#ff0000][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color]! [br]Ist die [i][b]Absolute Invariante[/b][/i] negativ, so liegen die [color=#ff0000][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen[/b][/i][/color]. [br][u][i]Sonderfall[/i][/u] [math]\mathbf{\mathcal{J}}=-1[/math]: Die [color=#ff0000][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] sind [color=#9900ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] die Ecken eines [color=#0000ff][i][b]Tetraeders[/b][/i][/color].[br][/size][/*][*] [size=85][u][i]Sonderfall[/i][/u] [/size][math]\mathbf{\mathcal{J}}=0 [/math][size=85]: Sind die [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] verschieden, so besitzen sie [color=#0000ff][i][b]harmonische Lage[/b][/i][/color]! [br]Sie sind sowohl [color=#ff7700][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color], als auch liegen sie [color=#ff7700][i][b]spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen[/b][/i][/color]![/size] [/*][/list][br][size=85]Siehe auch [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna#material/nr4mvcre]J-Funktion2[/url][/size]