Determine a solução [math]u(x,y)[/math] da equação de Laplace:[br][br][center][math]u_{xx}+u_{yy}=0[/math],[/center]no retângulo 0 < x < 3, 0 < y < 1, que satisfaz as condições de contorno:[br][br][center][math]u\left(0,y\right)=0[/math], [math]u\left(3,y\right)=0[/math], para 0 < y < 1;[br][br][math]u\left(x,0\right)=0[/math], [math]u\left(x,1\right)=g\left(x\right)[/math], para 0 [math]\le[/math] x [math]\le[/math] 3, [br][/center]onde [math]g(x)=x[/math], 0 [math]\le[/math] x [math]\le[/math] [math]3/2[/math] e [math]g(x)=3-x[/math], [math]3/2[/math] [math]\le[/math] x [math]\le[/math] 3.

Solução:[br][center][math]u\left(x,y\right)=\frac{12}{\pi^2}\sum_{n=0}^{^{\infty}}\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}\frac{\left(-1\right)^n}{senh\left(\frac{\left(2n+1\right)\pi}{3}\right)}sen\left(\frac{\left(2n+1\right)\pi x}{3}\right)senh\left(\frac{\left(2n+1\right)\pi y}{3}\right)[/math][/center]