Theoretisch anspruchsvoller als das Rechnen mit Testeinsetzungen und das anschließende Beurteilen des Grenzverhaltes ist die Berechnung der Grenzwerte durch geschickte Termumformungen und Substitution.[br]Im Zählen und Nenner stehen Polynome. Ziel ist es, die Untersuchung durchzuführen, ohne dass das Nennerpolynom gegen Null oder Unendlich strebt. [br]Dazu wird die Untersuchung normiert und auf das Verhalten der Standard-Funktion[math]f:y=\frac{1}{x}[/math] zurückgeführt.

[*]Grenzverhalten[/*][list][*][i]"[u]Wenn[/u] x gegen plus oder minus Unendlich strebt, [u]dann[/u] streben die Kehrwerte y=1/x gegen Null."[/i][br][/*][*][i]"[/i][u][i]Wenn[/i][/u][i] x von links gegen Null strebt, [u]dann[/u] strebt y gegen minus Unendlich."[/i][br][/*][*][i]"[u]Wenn[/u] x von rechts gegen Null strebt, [u]dann[/u] strebt y gegen plus Unendlich."[/i][/*][/list]

Durch das[u][b] vollständige Kürzen [/b][/u]der höchsten Potenzen von x des [u]Nennerpolynoms[/u] wird der Funktionsterm in in eine neue Form gebracht.[br]Dazu werden Zähler und Nenner durch Ausklammern von x faktorisiert und anschließend wird gekürzt. [br]Das wird solange gemacht, bis der Nenner im Grenzprozess gegen [u][b]eine von Null verschiedene feste Zahl [/b][/u]strebt.[br][br][i]Beispiel 1[br][/i]Termumformung durch Kürzen: [math]f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-2}=\frac{x\cdot\left(2+\frac{1}{x}\right)}{x\cdot\left(1-\frac{2}{x}\right)}=\frac{2+\frac{1}{x}}{1-2\cdot\frac{1}{x}}[/math][br][br][i]Jetzt beurteilt man das Verhalten der einzelnen Teilterme für den betreffenden Grenzprozess [/i][math]x\longrightarrow\pm\infty[/math][i].[br]Es ergibt sich: Wenn [/i][math]x\longrightarrow\pm\infty[/math][i], dann [/i][math]f\left(x\right)\longrightarrow\frac{2+0}{1-2\cdot0}=2[/math][i].[br][/i][br]Beispiel 2[br][math]f\left(x\right)=\frac{2x^2+x}{x-2}=\frac{x\cdot\left(2x+1\right)}{x\cdot\left(1-\frac{2}{x}\right)}=\frac{2x+1}{1-2\cdot\frac{1}{x}}[/math][br][br][i]Jetzt beurteilt man das Verhalten der einzelnen Teilterme für den betreffenden Grenzprozess [/i][math]x\longrightarrow\pm\infty[/math][i].[br][/i][i]Es ergibt sich: Wenn [/i][math]x\longrightarrow\pm\infty[/math][i], dann [/i][math]f\left(x\right)\longrightarrow\frac{2\cdot\left(\pm\infty\right)+1}{1-2\cdot0}=\frac{\pm\infty}{1}=\pm\infty[/math][i].[/i][br][br]

Durch eine[u][b] geschickte Substitution [/b][/u] wird der Funktionsterm in eine Form gebracht, in der sich sein Grenzverhalten für den zu untersuchende Grenzprozess [math]x\longrightarrow\infty[/math] leicht beurteilen läßt.[br][br]Die Standardsubstitution lautet [math]x=x_0+h[/math] mit [math]h\ne0[/math]. [br]Sie ersetzt den zu untersuchenden Grenzübergang [math]x\longrightarrow x_0[/math] durch den Übergang [math]h\longrightarrow0[/math]. Hier ist die Annäherung von links und von rechts an die Null zu durchdenken. Dabei hat h ein negatives oder positives Vorzeichen.[br][br]Problematisch ist der Fall, wenn das Nennerpolynom an der Untersuchungsstelle [math]x_0[/math] eine Nullstelle besitzt. Dann werden Zähler und Nenner durch Ausklammern von h faktorisiert und anschließend wird gekürzt. Das wird solange gemacht, bis der Nenner im Grenzprozess gegen [u][b]eine von Null verschiedene feste Zahl [/b][/u]strebt oder der Kehrwerte von h ohne Konflikt durch [math]\frac{1}{h}\longrightarrow\pm\infty[/math] beurteilt werden kann.[br][br][i][u]Beispiel 1[/u][br]Untersucht wird die Funktion [/i][math]f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-2}[/math][i] an der Stelle [math]x_0=2[/math]. [br][/i][br]Substitutuion [math]x=2+h[/math] und Termumformung: [math]f\left(x\right)=\frac{2\left(2+h\right)+1}{\left(2+h\right)-2}=\frac{4+2h+1}{h}=\frac{5+2h}{h}=\frac{h\cdot\left(\frac{5}{h}+2\right)}{h}=2+5\cdot\frac{1}{h}[/math][br][br][i]Jetzt beurteilt man das Verhalten der einzelnen Teilterme für den betreffenden Grenzprozess [/i][math]h\longrightarrow0[/math][i].[br][br]Es ergibt sich: [br]Wenn [/i][math]x\longrightarrow2[/math][i], dann [math]h\longrightarrow\pm0[/math] und[/i] [math]\frac{1}{h}\longrightarrow\pm\infty[/math] , also [math]f\left(x\right)\longrightarrow2+5\cdot\left(\pm\infty\right)=\pm\infty[/math] [i].[/i][br][br][u]Beispiel 2[br][/u][i]Untersucht wird die Funktion [/i][math]f\left(x\right)=\frac{2x^2+x}{x-2}[/math][i] an der Stelle [math]x_0=2[/math]. [/i][br][math]f\left(x\right)=\frac{2\left(2+h\right)^2+x}{x-2}=\frac{2\cdot\left(4+4h+h^2\right)+\left(2+h\right)}{\left(2+h\right)}=\frac{6+9h+2h^2}{h}=\frac{6}{h}+9+2h=6\cdot\frac{1}{h}+9+2h[/math][br][br][i]Jetzt beurteilt man das Verhalten der einzelnen Teilterme für den betreffenden Grenzprozess [/i][math]h\longrightarrow\pm0[/math][i].[br][/i][i][br]Es ergibt sich: [br]Wenn [/i][math]x\longrightarrow2[/math][i], dann [/i][math]f\left(x\right)\longrightarrow6\cdot\left(\pm\infty\right)+9+0=\pm\infty[/math][i].[/i][br][br]