Data una funzione [math]\large{y=f\left(x\right)}[/math], si definisce [color=#ff0000][b]funzione inversa[/b][/color] quella funzione che inverte l'input con l'output, cioè la [math]\large{x}[/math] con la [math]\large{y}[/math]: essa è permette quindi, a partire da un elemento di tipo [math]\large{y}[/math], a trovare il corrispondente elemento di tipo [math]\large{x}[/math] che lo genera secondo la funzione originale.[br][br]Ad esempio se consideriamo la funzione [math]c:\large{\ y\ è\ la\ capitale\ di\ x}[/math], che ad ogni stato [math]x[/math] associa la corrispondente capitale [math]y[/math], la sua inversa sarà [math]s:\ \large{y\ ha\ per\ capitale\ x}[/math], che ad ogni capitale [math]x[/math] associa uno stato [math]y[/math].

Vediamo che stati e capitali si scambiano il ruolo di [math]\large{x}[/math] ed [math]\large{y}[/math], perchè per la funzione [i][b]c[/b][/i] gli stati sono la variabile indipendente (la [math]\large{x}[/math]) e le capitali sono la variabile dipendente (la [math]\large{y}[/math]), mentre per la funzione [i][b]s[/b][/i] vale il contrario.[br][br]Per indicare la funzione inversa si utilizza spesso una notazione pseudo-esponenziale, per cui l'inversa della funzione [math]\large{f}[/math] viene indicata con [math]\large{f^{-1}}[/math], similmente a come un'esponente negativo inverte una frazione.[br][br]Notiamo infine che se consideriamo l'inversa di una funzione inversa, riotteniamo la funzione di partenza. Possiamo dire insomma che [math]\large{(f^{-1})^{-1} = f}[/math].[br][br][color=#ff0000][size=150]INVERTIRE LE FUNZIONI MATEMATICHE: FUNZIONI ALGEBRICHE[/size][/color][br]Le funzioni inverse si definiscono ovviamente anche per le funzioni matematiche. Ad esempio la funzione [math]\large{f:y=2x}[/math] ha per inversa [math]\large{f^{-1}:y=\frac{1}{2}x}[/math], come puoi facilmente verificare. Da notare che [color=#ff0000][b]per ottenere la funzione inversa basta invertire la formula descritta dalla funzione, utilizzando come al solito i principi di equivalenza[/b][/color]. Vediamo un esempio più significativo.[br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO[/color][/b] [br][color=#0000ff]Giorgia lavora come rider e guadagna 2€ al giorno più 3€ per ogni consegna. Scrivi le espressioni delle seguenti funzioni:[br][/color][list][*][color=#0000ff]la funzione [math]\large{y= g(x)}[/math] che restituisce guadagno [math]\large{y}[/math] di Giorgia in un giorno in cui ha svolto [math]\large{x}[/math] consegne[/color][/*][color=#0000ff][br][/color][*][color=#0000ff]la funzione inversa [math]\large{y= g^{-1}(x)}[/math] che indica il numero di consegne [math]\large{y}[/math] che Giorgia deve effettuare in un giorno per guadagnare [math]\large{x}[/math] euro[/color][br][/*][/list][br][br]Notiamo innanzitutto che le due funzioni sono effettivamente una l'inverso dell'altra, perchè nella prima la [math]\large{x}[/math] rappresenta il numero di consegne e la [math]\large{y}[/math] il corrispondente guadagno, mentre nella seconda le due grandezze si scambiano di ruolo. [br][br]La prima funzione è piuttosto semplice: si tratta di una funzione lineare (il cui grafico è una retta) dall'espressione [math]\large{g: y=2+3x}[/math]. [br][br]Per ottenere la funzione inversa possiamo innanzitutto scambiare la [math]\large{x}[/math] e la [math]\large{y}[/math], ottenendo [math]\large{g^{-1}: x=2+3y}[/math], dopodichè ricaviamo la [math]\large{y}[/math], ovvero invertiamo la formula con i seguenti passaggi:[br][br][math]\large{x\textcolor{red}{- 2}=3y+2\textcolor{red}{- 2} \qquad \rightarrow \qquad \frac{x-2}{\textcolor{red}{3}}=\frac{3y}{\textcolor{red}{3}}\qquad \rightarrow \qquad \frac{1}{3}x -\frac{2}{3}=y}[/math], ovvero [math]\large{g^{-1}: y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}}[/math].[br]

[color=#ff0000][size=150]UN ESEMPIO DI FUNZIONE MATEMATICA NON INVERTIBILE: LA RADICE ALGEBRICA[/size][/color][br]Anche le funzioni matematiche possono essere non biunivoche, e quindi non invertibili. Se consideriamo ad esempio la funzione [math]\large{q: y=x^2}[/math], vediamo che non è biunivoca, dato due numeri opposti danno lo stesso quadrato: [math]\large{2}[/math] e [math]\large{-2}[/math], [math]\large{3}[/math] e [math]\large{-3}[/math] e così via. Ne consegue che se definiamo una funzione inversa [math]\large{q^{-1}: y=\sqrt{x}}[/math], descritta da [math]\large{q^{-1}:\ y\ è\ un\ numero\ che\ elevato\ al\ quadrato\ è\ uguale\ a\ x}[/math], essa [b]non[/b] da un risultato univoco, e quindi [b]non[/b] è una funzione. Tradotto in termini pratici potremmo metterla così: mentre calcolando il quadrato di 8 sulla calcolatrice siamo tutti d'accordo l'unico risultato possibile è 64, calcolando la radice di 64 la calcolatrice potrebbe dare due risultati: 8 o -8.[br]

[color=#ff0000][size=150]RENDERE INVERTIBILE UNA FUNZIONE RESTRINGENDO IL DOMINIO DI PARTENZA[/size][/color][br][b][color=#ff0000]Per rendere invertibile una funzione, si può decidere di limitare il suo insieme di partenza in modo da rendere biunivoca la funzione[/color][/b]. Nel nostro esempio dei padri e dei figli, se modifichiamo la funzione [i]p[/i] in questo modo [math]p': \large{y\ ha\ come\ primogenito\ x}[/math] la funzione diventa biunivoca, dato che ogni padre ha un solo primogenito (per i pignoli: anche nel caso dei gemelli c'è sempre uno che nasce prima dell'altro). La funzione, quindi, restringendo l'insieme dei "figli" quello dei "primogeniti", può essere invertita.

Un esempio di funzioni non biunivoche che possono essere rese tali restringendo il dominio di partenza sono le funzioni goniometriche, come mostrato nell'animazione qui sotto.