[list][*]Elige el número (entero) de bucles , o mueve los puntos amarillos para modificar las proporciones de la figura.[/*][*]Activa la casilla Generatriz para ver la curva que genera esta superficie[/*][*]Moviendo el deslizador, podrás ver cómo se genera la superficie a partir de la curva generatriz.[/*][/list]

Esta superficie de revolución se obtiene al hacer girar sobre un eje una curva sinusoidal. Dependiendo del número de veces que oscile esta curva, obtendremos cierta cantidad de bucles.[br]Para dos bucles, se conoce como la superficie del ocho. Con un solo bucle, tendríamos una esfera.[br][br]Como generalización, podemos añadir más bucles, o bien modificar la proporción entre el ancho y el alto. En ese caso, obtenemos otras superficies, como por ejemplo, el elipsoide.[br][br]Las ecuaciones paramétricas para la superficie del ocho son [br][center][math]\left\{\begin{array}{rl}[br]x=&sen(2v)\cdot cos(u)\\[br]y=&sen(2v)\cdot sen(u)\\[br]z=&sen(v)\\[br]\end{array}\right.,\qquad\text{para }0\leq u<2\pi\quad,\quad -\frac{\pi}{2}\leq v\leq \frac{\pi}{2},[br][/math][/center]donde hemos utilizado la variable [i]u[/i] para girar alrededor del eje [i]z[/i] y la variable [i]v[/i] para la función seno generatriz.[br][br]La generalización a [i]n[/i] bucles, con diferentes proporciones, determinadas por [i]a[/i] y [i]b[/i], sería[br][center][math][br]\left\{\begin{array}{rl}[br]x=&a\cdot sen(n\,v+k)\cdot cos(u)\\[br]y=&a\cdot sen(n\,v+k)\cdot sen(u)\\[br]z=&b\cdot sen(v)\\[br]\end{array}\right.,\qquad\begin{array}{l}[br]\text{para }0\leq u<2\pi\quad,\quad -\frac{\pi}{2}\leq v\leq \frac{\pi}{2}[br]\\[br]\text{y }k=0\text{ si }n\text{ es par},\,k=\frac{\pi}{2}\text{ si }n\text{ es impar.}[br]\end{array}[br][/math][/center]