La parabola è descritta da una equazione di secondo grado molto particolare.[br][br][u][b][color=#ff0000]Teorema[/color][/b][/u]: [color=#0000ff]una [/color][i][color=#0000ff]parabola con asse verticale è [/color][color=#0000ff]il luogo dei punti del piano che sono soluzioni di un’equazione di secondo grado in due incognite del tipo:[br][/color][center][math]y=ax^2+bx+c[/math][color=#0000ff][br]con a,b,c numeri reali e [/color][math]a\ne0[/math][color=#0000ff][br][/color][/center][/i][color=#0000ff]in cui il vertice V e il fuoco F hanno le seguenti coordinate: [/color] [math]V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right)[/math] [math]F\left(-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta+1}{4a}\right)[/math][color=#0000ff][br]e la retta direttrice ha equazione [/color][math]y=\frac{-\Delta-1}{4a}[/math][color=#0000ff] [br][color=#0000ff](ricordando la formula del discriminante [/color][math]\Delta=b^2-4ac[/math][color=#0000ff])[/color][/color][br][br][br]Grazie a questo risultato possiamo studiare come varia la forma di una parabola al variare dei suoi coefficienti algebrici [i]a,b,c[/i]. [br][br]Creiamo dunque una parabola seguendo queste semplici istruzioni:[br][list=1][*]Utilizzando lo strumento [i]Slider[/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon] definiamo il numero a, con valori da -5 a 5 e incremento 0.1 .[/*][*]Settiamo inizialmente il valore a=1.[/*][*]Ripetiamo la costruzione del punto 1 per definire il numero b, con valori da -10 a 10 e incremento 0.1 .[/*][*]Settiamo inizialmente il valore b=0.[/*][*]Per ultimo definiamo c, con valori da -5 a 5 e incremento 0.1 .[/*][*]Settiamo inizialmente il valore c=0.[/*][*]Adesso nella parte [i]Algebra[/i] di GeoGebra (il pannello a sinistra) andiamo in una casella libera e scriviamo l'espressione algebrica della parabola inserendo "y=a x^2 + b x + c" (senza le virgolette "").[/*][/list][br]Il risultato ottenuto dovrebbe essere simile a quello mostrato di seguito. Il foglio mostra anche altri dettagli non necessari, la cui utilità si comprende nel provare a rispondere alle domande.
[b]Nota[/b]: tutto ciò che viene fatto in questa scheda riguarda le [i][color=#ff0000]parabole con asse verticale[/color][/i], ma può essere tranquillamente usato anche per le [i][color=#ff0000][b]parabole con asse orizzontale[/b][/color][/i], scambiando semplicemente le variabili [i]x[/i] e [i]y[/i] in ogni formula e coordinata dei punti studiati: l'equazione [math]y=ax^2+bx+c[/math] diventa [math]x=ay^2+by+c[/math] , il vertice diventa [math]V\left(-\frac{\Delta}{4a};-\frac{b}{2a}\right)[/math] , il fuoco [math]F\left(\frac{-\Delta+1}{4a};-\frac{b}{2a}\right)[/math] e la direttrice [math]x=\frac{-\Delta-1}{4a}[/math] .
Modificando il parametro [b]a [/b]come cambia la curva?
Come cambia la parabola se [math]a>0[/math] o [math]a<0?[/math]
Cosa accade se [math]a=0[/math]? Perché?
Riposizionando il valora a=1, come cambia la parabola al variare di [b]c[/b]? C'è un punto che sembra legato al valore di c?
Se invece modifichiamo il parametro [b]b[/b], come cambia la parabola? C'è qualcosa che rimane invariato?
Riporta i valori iniziali di a=1, b=0, c=0 e attiva la traccia del vertice V.[br]Variando [u]solo il parametro [/u][b][u]b[/u][/b], che curva va a formare la traccia di V?
Prova a scrivere l'equazione della curva formata dalla traccia di V, usando i valori della parabola di partenza:[br](per verificare la correttezza della tua ipotesi puoi inserire la curva nel pannello [i]Algebra[/i] e controllare se il vertice V si muove su di essa oppure no)
Dopo quest'analisi, prova a spiegare il legame tra i singoli coefficienti [i]a,b,c[/i] e la forma della parabola nel piano: