Second degré : Lancer de poids
Présentation
Dans cette activité, nous allons illustrer l'utilité des polynômes du second degré à travers un exemple de sport : le lancer de poids.[br]Pour étudier la trajectoire du poids, on prendra comme repère les deux axes représentés en noir dans la figure ci-dessus.[br]Nous pouvons conjecturer que la trajectoire du poids est une parabole et donc imaginer que la courbe est la représentation d'une fonction de la forme [math]y=f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][br][math]x[/math]représente la distance horizontale parcourue par le poids et [math]f\left(x\right)[/math] la hauteur du poids correspondant.
Partie 1 : Conjecture et expression de la courbe de la trajectoire
[br]
Question 1 :
On suppose donc que l'allure de la trajectoire a pour équation : [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][br]a- En fonction de l'allure des points, que peut-on en déduire pour le signe de a ?[br]b- En calculant [math]f\left(0\right)[/math] et en comparant avec le graphique, déduire la valeur de c.[br]c- En vous aidant des questions précédentes et en utilisant les trois curseurs a, b et c de la figure géogébra, quelle semble être l'expression de l'équation de la trajectoire du lancer de poids ?
Tableau blanc pour les formules
On admettra pour les questions suivantes que [math]f\left(x\right)=-0.19x^2+1.41x+2.65[/math]
Question 2 :
a- A l'aide de géogébra (Tableau blanc), résoudre l'équation [math]f\left(x\right)=0[/math][br]b- Vérifier le résultat ci-dessus par un calcul. [br]c- A quoi cela correspond-il dans le contexte de l'exercice ?
Question 3
a- A l'aide de géogébra (Tableau blanc), déterminer la forme canonique de la fonction correspondant à la trajectoire du poids.[br] b- Vérifier ce résultat à l'aide d'un calcul[br]c- En déduire la hauteur maximale du poids.
Partie 2 : Etude du déplacement vertical en fonction du temps.
On appelle déplacement vertical le nombre [i]g[/i](t) correspondant à la hauteur à chaque instant t du poids. [br]On admet que ce déplacement est défini par la fonction [i]g[/i] : [math]g\left(t\right)=-19\times t^2+14.1t+2,65[/math] [br]Le graphique ci-dessous nous donne la courbe de ce déplacement.
Déplacement vertical du poids
Question 1:
En déplaçant le point Poids du graphique "Déplacement vertical du poids", trouver à quel instant le poids semble retomber au sol ?
Question 2
A l'aide du logiciel de calcul de géogébra, retrouver le résultat de la question précédente.
Question 3 :
Lire graphiquement :[br] a- A quel(s) instant(s), le poids se situe à 4 mètres du sol ?[br] b- Combien de temps le poids se situe-t-il au dessus de 4 mètres ?[br][br]Pour vous aider, vous pouvez entrer dans la zone de saisie du graphique "Déplacement vertical du poids", une expression de la forme "y = k" pour tracer une droite horizontal adéquate .
Question 4 :
A l'aide du logiciel de calcul de géogébra, retrouver les résultats de la question 3.
Partie 3 : Pour aller plus loin : étude de la trajectoire du poids
Dans cette partie, on cherche à déterminer l'expression de la courbe de la trajectoire du lancer de poids définie au début de l'énoncé. ([math]y=f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math])[br]On appelle déplacement horizontal le nombre [i]h[/i](t) correspondant à la distance parallèle au sol à l'instant t du poids. On admet qu'il est défini par : [math]h\left(t\right)=10\times t[/math]
Trajectoire du poids (2)
Question 1
Poun un instant t donné, on pose : x= h(t) et y=g(t)[br]a- Exprimer t en fonction de x.[br]b- En déduire y en fonction de x[br]c- On nomme f la fonction qui donne y en fonction de x : y = f(x). En utilisant la zone de saisie du graphique "Trajectoire du poids (2)", tracer la courbe de la fontion f
Question 2
A l'aide du logiciel geogebra, trouver à quelle distance le poids retombe au sol.
Question 3
Le résultat trouvé dans la question précédente est-il cohérent avec celui trouvé dans la question 2 de la partie 1
Question 4
Dans GeoGebra, on peut utiliser la fonctionnalité Courbe qui attend 5 paramètres[br] 1) une première expression d'une fonction à une variable[br] 2) une deuxième expression d'une fonction à une variable[br] 3) le nom d'une variable[br] 4) une borne inférieure pour les valeurs de la variable[br] 5) une borne supérieure pour les valeurs de la variable[br]GeoGebra trace la courbe qui exprime la deuxième expression en ordonnée en fonction de la première expression en abscisse.[br]On vous demande d'utiliser cette fonctionnalité Courbe dans le graphique "Trajectoire du poids (2)" pour tracer la trajectoire du poids et de constater qu'elle se superpose avec la courbe de la fonction f de la question 1.