Ein [b][color=#980000]Bernoulli-Experiment[/color][/b] bzw. [b][color=#980000]Bernoulli-Zufallsexperiment[/color][/b] wird auch [b][color=#980000]Bernoulli-Prozess[/color][/b] oder [b][color=#980000]Bernoulli-Kette[/color][/b] genannt. Damit so ein Zufallsexperiment vorliegt, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:[br][list=1][*]Das Experiment hat nur zwei mögliche Ereignisse, also das gewünschte Ereignis [math]\mathbf{E}[/math] und das Gegeneeignis dazu [math]\mathbf{\overline{E}}[/math].[/*][*]Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten dieses Ereignisses [math]p(\mathbf{E})[/math] verändert sich nicht, wenn man das Experiment mehrmals durchführt.[br][/*][/list][br]Die folgenden Überlegungen, insbesondere die gesamte Theorie zur Binomialverteilung, setzen ein solches Bernoulli-Experiment voraus.

Sie dürfen 5 mal würfeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Mal eine 6 fällt?[br]Das ist eine typische Frage für die Binomialverteilung.[br]Hier gibt es genau Ereignisse, "würfeln einer 6" und "würfeln einer anderen Zahl". [br]Das kann man doch in einem Baumdiagramm lösen? Der rote Pfeil heißt "Sechs" der schwarze steht für "keine Sechs".

Nach 5 Würfelversuchen, können genau so viel verschiedene Ergebnisse eingetreten sein, wie es Pfade im obenstehenden Wahrscheinlichkeitsbaum gibt. Es sind [math]2^5=32[/math] verschiedene Ergebnisse, die prinzipiell möglich sind. [br]Für zwei Sechsen bei fünf Würfelversuchen gibt es zehn verschiedene Möglichkeiten, diese sind oben im Bild grün mit durchgezogenen und gestrichelten Linien nachgezeichent. Die Wahrscheinlichkeit für jeden grünen Pfad ist die gleiche: [math]\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^3[/math], denn jeder Pafad enthält zwei rote Pfeile ([math]p=\frac{1}{6}[/math]) und drei schwarze ([math]p=\frac{5}{6}[/math])[br]Da es 10 solcher Pfade gibt, ist die Wahrscheinlichkeit zwei Sechsen bei fünf Würfelversuchen zu erreichen nach den Pfadregeln für Baumdiagramme:[br][math]P(\text{2 von 5})=10\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^3\approx 0,1608\approx 16,1\%[/math][br][br]Das einzige, was dazu nötig war, diese Wahrscheinlichkeit auszurechnen, das waren[br][list][*]die Anzahl der Würfe [color=#980000][i][b]n[/b][/i][/color] (hier [color=#980000]5[/color] mal würfeln) [/*][*]die gewünschte Anzahl günstiger Ergebnisse [color=#980000][i][b]k[/b][/i][/color] (hier [color=#980000]2[/color] Sechsen)[/*][*]die Wahrscheinlichkeit [color=#980000][i][b]p[/b][/i][/color], mit der das günstige Ereignis eintritt (beim "Würfeln einer Sechs" also [math]p=\frac{1}{6}[/math])[/*][*]Die [color=#980000][b]Anzahl der Möglichkeiten[/b][/color], auf wie viel Wegen sich das günstige Ergebnis ([b]k[/b] Sechsen) erhalten lässt, wenn man [b]n[/b] Versuche macht.[/*][/list][br]

Wie viel Möglichkeiten gibt es, wenn Sie 5 mal (n mal) würfeln, genau 2 (genau k) Sechsen zu erhalten? Das kann man sehr schön aus dem Pascal'schen Dreieck ablesen: [br]Im Pascal'schen Dreieck stehen außen nur Einsen und [b][color=#980000]jede andere Zahl ist die Summe der beiden Zahlen, die direkt darüber stehen[/color][/b].

Wenn wir sehr große n haben, dann ist das erstellen eines Baumdiagrammes keine Option. Bei [math]n=20[/math] gibt es am unteren Ende schon über eine Millionen Äste ([math]2^{20}=1\,048\,576[/math]). Auch das Pascal'sche Dreieck ist für [math]n=20[/math] kaum noch auf ein Stück Papier zu bringen. Und zum Beispiel in der Qualitätskontrolle von Produkten rechnet man mit [math]n=100[/math] oder noch mehr. [br]Daher wäre es sehr hilfreich, wenn man auch ohne grafische Darstellung mit dem Pascal'schen Dreieck die Anzahl Möglichkeiten berechnen könnte, bei [math]n[/math]-maliger Versuchsdurchführung [math]k[/math] günstige Ergebnisse zu erhalten. Glücklicherweise gibt es eine Formel dafür, den [b]Binomialkoeffizienten[/b] "n über k":[br][br][math]\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}[/math][br][br]wobei das Ausrufezeichen [math]![/math], die "[b]Fakultät[/b]", eine eigene mathematische Bedeutung hat. Fakultät heißt: "multipliziere die Zahl mit dernächst kleineren ganzen Zahl und dann wieder mit der nächste kleineren usw.":[br][math]6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1[/math][br]Dabei kann man die Eins am Ende natürlich auch weglassen (aber so sieht es schöner aus).

Damit haben wir unseren letzten Baustein für die Binomialverteilung, oft auch Bernoulli-Formel genannt, zusammen: Die Anzahl, wie oft bei [math]n[/math] Versuchen das positive Ereignis eintritt, ist eine [color=#980000][i]Zufallsvariable[/i][/color] ([math]X[/math]). Und die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für genau diese Zufallsvariable: Die Anzahl, wie oft das günstige Ereignis eintritt:[br][br][b]Die Wahrscheinlichkeit für k-maliges Auftreten eines günstigen Bernoulli-Experimentes bei n Versuchen ist[/b]:[br][math]\text{\Large{\[\boxed{P(n;p;X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}\]}}[/math][br][br]Dabei ist [br][math]n[/math] die Anzahl der durchgeführten Versuche[br][math]p[/math] die Wahrscheinlichkeit für das günstige Ereignis bei einmaliger Durchführung des Versuches [br][math]X=k[/math] die Häufigkeit, wie oft das günstige Ereignis vorkommen soll ist in der Binomialverteilung unsere Zufallsvariable [math]X[/math]. [math]X=k[/math] fragt also nach der Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass die Zufallsvariable genau gleich [math]k[/math] ist.[br][br]Zwischen [math]n[/math], [math]p[/math] und [math]k[/math] schreibt man in der Regel ein Semikolon, weil sonst die Trennung der Zahlen im Deutschen nicht von einer Dezimalzahl zu unterschieden sind.

Für alle oben genannten Formeln, gibt es in CAS-Systemen wie Geogebra und den HP-Prime fertige Anweisungen:[br][br][size=200]HP-Prime[/size][br][b]Fakultät:[/b] [color=#0000ff][i][b]![/b][/i][/color] [shift]-[9]-[Enter] oder [Werkzeugkasten(Math)]-[5]-[1][br][b]Binomialkoeffizient "n über k":[/b] [color=#0000ff][b][i]comb(n,k)[/i][/b][/color] [Werkzeugkasten(Math)]-[5(Wahrscheinlichkeit)]-[1(Fakultät)][br][color=#0000ff][b][color=#000000]Binomialverteilung: [/color][/b][i][b]binomial(n,p,k)[/b][/i][/color] [Werkzeugkasten(Math)]-[5(Wahrscheinlichkeit)]-[6(Dichte)]-[5(Binom)][br][br][size=200]Geogebra:[/size][br][b]Fakultät:[/b] [color=#0000ff][i][b]![/b][/i][/color] ist einfach das Ausrufezeichen[br][b]Binomialkoeffizient "n über k":[/b] [color=#0000ff][b][i]nCr(n,k)[/i][/b][/color] [br][color=#0000ff][b][color=#000000]Binomialverteilung: [/color][/b][i][b]binomial(n,p,k,false)[/b][/i][/color] [Werkzeugkasten(Math)]-[5(Wahrscheinlichkeit)]-[6(Dichte)]-[5(Binom)][br][br]