La fonction logistique [math]f_a:x\mapsto a\,x\,(1-x)[/math] est itérée pour des valeurs de [math]a[/math] variables entre 0 et 4. Le comportement de la suite est intéressant: pour certaines valeurs de [math]a[/math] la suite converge, pour d'autres elle diverge, ayant plusieurs valeurs d'adhérence, jusqu'au cahos, où tout point du segment [math][0,1][/math] est valeur d'adhérence. On trace le graphe "en colimaçon" des termes de la suite [math]u_n=f_a^n(u_0)[/math], mais également (en rouge) des points de la forme [math](a/4, u_n)[/math] pour de grandes valeurs de [math]n[/math], c'est-à-dire, pour un [math]a[/math] donné, l'ensemble des valeurs d'adhérence: un unique point si ça converge, un couple ou plus si ça diverge.

Justifiez qu'on peut itérer la fonction [math]f_a[/math].[br][br]Faites varier la valeur [math]a[/math] et le premier terme de la suite. [br]Résoudre [math]f_a(x)=x[/math] en fonction de [math]a[/math]. Si [math]u_0[/math] est cette valeur, que peut-on dire de la suite? Essayez numériquement. Que constatez-vous?[br][br]En distinguant les cas [math]0\leq a\leq 1[/math], [math]1\leq a \leq 3[/math], [math]3[/math], montrer que la suite converge pour les deux premiers cas et donner l'expression de la limite.[br][br]Calculer la dérivée de la fonction au point fixe précédent. Qu'est-ce que ça vaut pour ?[br][br]Tracez la fonction composée [math]f_a^2[/math]. Montrer que les sous-suites paires et impaires convergent pour [math]3=a_1\leq a\leq a_2[/math] pour [math]a_2[/math] qu'on déterminera.[br][br]Vous trouverez dans [url=https://youtu.be/ovJcsL7vyrk]cette vidéo de Veritasium[/url] le lien avec [url=https://www.geogebra.org/m/gnquj39f#material/kJ2uwsf6]l'ensemble de Mandelbrot[/url].