Le carré d'un nombre positif est l'aire d'un carré dont les côtés ont pour mesure ce nombre.

Le carré d'un nombre [math]a[/math] est le produit de celui-ci par lui même, on le note [math]a\times a=a^2[/math]

La racine carrée d'un nombre (positif) est la longueur du coté d'un carré dont ce nombre est la mesure de l'aire.

La racine carrée de 2 [math]\sqrt{2}[/math] est le nombre dont le carré est 2 : [math]\left(\sqrt{2}\right)^2=2[/math]

La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel, c'est à dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction dont le numérateur est le dénominateur sont des nombres entiers.

Supposons que [math]\sqrt{2}[/math] soit un nombre rationnel, c'est à dire qu'il existe une fraction irréductible [math]\sqrt{2}=\frac{p}{q}[/math].[br][br][math]p[/math] et [math]q[/math] sont donc des nombres entiers qui n'ont pas de diviseurs communs.[br][br][math]\sqrt{2}=\frac{p}{q}[/math], nous avons donc [math]\sqrt{2}\times q=p[/math][br]Et donc : [math]2q^2=p^2[/math][br][br][math]p^2[/math] est donc un multiple de 2 et donc, comme [math]p[/math] est un nombre entier, un multiple de 4.[br][br][math]p[/math] est donc un multiple de 2, nous avons donc [math]p=2k[/math] où [math]k[/math] est le nombre entier qui est la moitié de [math]p[/math].[br][br]Nous avons donc [math]2q^2=p^2=4k^2[/math] et donc [math]q^2=2k^2[/math].[br][br][math]q^2[/math] est donc un multiple de 2 et donc, comme [math]q[/math] est un nombre entier, un multiple de 4.[br][br][math]q[/math] est donc un multiple de 2 comme [math]p[/math]. [br][br]Nous en déduisons donc que [math]\sqrt{2}=\frac{p}{q}[/math] n'est pas une fraction irréductible car elle peut être simplifiée par 2, ce qui est en contradiction avec notre hypothèse de départ.[br][br][math]\sqrt{2}[/math] ne peut donc pas s'écrire sous forme de fraction, ça n'est pas un nombre rationnel.

On peut prouver, comme cela est montré dans le paragraphe suivant, que la racine carrée d'un nombre entier qui n'est pas un nombre entier n'est pas un nombre rationnel.