Übungen zu Funktionen der Form x ↦ a ⋅ sin(b ⋅ (x - c) + d)) + d

[color=#38761d]Im Folgenden findest du zum Thema „Funktionen der Form x ↦ a ⋅ sin(b ⋅ (x - c)) + d“ verschiedene Aufgaben mit Lösungskontrollen zum Festigen und Vertiefen.[/color]

Aufgabe 1.1

Der Graph der in ℝ definierten Funktion g: x ↦ 5 ∙ sin(x) geht aus dem Graphen der in ℝ definierten Funktion f: x ↦ sin(x) hervor durch ...

... Verschiebung um 5 Einheiten in positive x-Richtung. ... Verschiebung um 5 Einheiten in positive y-Richtung. ... Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 5. ... Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 5.

Aufgabe 1.2

Der Graph der in ℝ definierten Funktion g: x ↦ sin(4 ∙ x) geht aus dem Graphen der in ℝ definierten Funktion f: x ↦ sin(x) hervor durch ...

... Verschiebung um 4 Einheiten in positive x-Richtung. ... Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 0,25. ... Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 4. ... Streckung in x-Richtung mit dem Faktor [math]\frac{1}{4}[/math]. ... Verschiebung um 0,25 Einheiten in positive x-Richtung.

Aufgabe 1.3

Der Graph der in ℝ definierten Funktion g: x ↦ sin(x − [math]\frac{\pi}{2}[/math]) geht aus dem Graphen der in ℝ definierten Funktion f: x ↦ sin(x) hervor durch ...

... Verschiebung um [math]\frac{\pi}{2}[/math] Einheiten in negative x-Richtung.[br] ... Streckung in x-Richtung mit dem Faktor [math]\frac{2}{\pi}[/math]. ... Verschiebung um [math]\frac{\pi}{2}[/math] Einheiten in positive x-Richtung.[br] ... Verschiebung um [math]\frac{\pi}{2}[/math] Einheiten in negative y-Richtung.[br]

Aufgabe 1.4

Der Graph der in ℝ definierten Funktion g: x ↦ sin(x) + 2 geht aus dem Graphen der in ℝ definierten Funktion f: x ↦ sin(x) hervor durch ...[br]

... Verschiebung um 2 Einheiten in positive y-Richtung. ... Verschiebung um 2 Einheiten in negative x-Richtung. ... Verschiebung um 2 Einheiten in positive x-Richtung. ... Verschiebung um 2 Einheiten in negative y-Richtung. ... Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 2.

Aufgabe 1.5

Der Graph der in ℝ definierten Funktion g: x ↦ [math]\frac{1}{4}[/math] ∙ sin(3 ∙ x) geht aus dem Graphen der in ℝ definierten Funktion f: x ↦ sin(x) hervor durch ...[br]

... Streckung in x-Richtung mit dem Faktor [math]\frac{1}{3}[/math] und in y-Richtung mit dem Faktor 4. ... Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 3 und in y-Richtung mit dem Faktor 4. ... Streckung in y-Richtung mit dem Faktor [math]\frac{1}{4}[/math] und in x-Richtung mit dem Faktor [math]\frac{1}{3}[/math]. ... Streckung in y-Richtung mit dem Faktor [math]\frac{1}{4}[/math] und in x-Richtung mit dem Faktor 3.

Aufgabe 1.6

Der Graph der in ℝ definierten Funktion g: x ↦ 2 ∙ sin(x + 4) geht aus dem Graphen der in ℝ definierten Funktion f: x ↦ sin(x) hervor durch ...

... Verschiebung um 4 Einheiten in negative x-Richtung und Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 2. ... Verschiebung um 4 Einheiten in positive x-Richtung und Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 2. ... Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 2 und Verschiebung um 4 Einheiten in negative x-Richtung. ... Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 2 und Verschiebung um 4 Einheiten in positive x-Richtung.

Aufgabe 2

Bei den folgenden Teilaufgaben soll jeweils beurteilt werden, ob Aussagen richtig oder falsch sind. Erstelle dir dazu ggf. eine Skizze der betrachteten Graphen. Darüber hinaus kannst du auch das nachfolgende GeoGebra-Applet zur Unterstützung nutzen.

Aufgabe 2.1

Gegeben sind die in ℝ definierten Funktionen f: x ↦ sin(x) und g: x ↦ sin([math]\frac{1}{3}[/math]x).[br]

Der Graph von g geht aus dem Graphen von f hervor durch eine Streckung in x-Richtung mit dem Faktor [math]\frac{1}{3}[/math]. Die Funktionen f und g haben die gleichen Nullstellen. Die Periode von g ist dreimal so groß wie die Periode von f. Die Funktionen f und g haben die gleiche Wertemenge.

Aufgabe 2.2

Gegeben sind die in ℝ definierten Funktionen f: x ↦ sin(x) und g: x ↦ –2 ∙ sin(x).

Der Graph von g geht aus dem Graphen von f hervor durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 2. Die Amplitude von g ist doppelt so groß wie die Amplitude von f. Die Wertemenge von f ist [–1; 1]; die Wertemenge von g ist [–2; 1]. Die Funktionen f und g haben die gleichen Nullstellen.

Aufgabe 2.3

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f: x ↦ 1,5 ∙ sin(x) − 2.

Die Wertemenge von f ist [–3,5; –0,5]. Die Periode von f ist [math]\frac{2\pi}{1,5}=\frac{4}{3}\pi[/math]. Der Graph von f und die x-Achse schneiden sich nicht. Die Amplitude von f ist 3.

Aufgabe 2.4

Gegeben sind folgende in ℝ definierten Funktionen:[br][list][*]h: x ↦ sin(–2x) + 1[/*][*]k: x ↦ sin(2x) + 1[/*][*]f: x ↦ sin(x) + 1.[/*][/list]

Der Graph von h geht aus dem Graphen von f hervor durch eine Streckung in x-Richtung mit dem Faktor [math]\frac{1}{2}[/math]. Die Periode von f ist halb so groß wie die Periode von h. Die Periode von h ist [math]\frac{2\pi}{\left|-2\right|}=\pi[/math]. Spiegelt man den Graphen von h an der y-Achse, so erhält man den Graphen von k. Die Funktion h besitzt unendlich viele Nullstellen.

Aufgabe 3

Lösen die Aufgaben 3.1 und 3.2 ohne Anfertigen einer Graphenskizze allein durch Überlegungen am jeweiligen Term.

Aufgabe 3.1

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion g: x ↦ 3 ∙ sin([math]\frac{1}{2}[/math]x − 1).

Die Funktion g hat bei x = 2 eine Nullstelle. Die Nullstellen von g sind genau die Zahlen 2 + 2πk mit k ∈ ℤ. Die Funktion g hat die Wertemenge [–3; 3]. Die Periode von g ist 4π.

Aufgabe 3.2

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion h: x ↦ 3 ∙ sin(2 ∙ (x − [math]\frac{\pi}{6}[/math])) − 1.

Die Funktion h hat die Periode π. Die Funktion h hat bei x = [math]\frac{\pi}{6}[/math] eine Nullstelle. Die Funktion h hat die Wertemenge [−4; 2]. Die Funktion h hat die Amplitude 2.

Aufgabe 4.1

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f: x ↦ 5 ∙ sin(4 ∙ (x – 2π)) + 1. Gib die Amplitude, die Periode und die Wertemenge von f an.

Aufgabe 4.2

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f: x ↦ −4 ∙ sin(0,5x + 1). Geben Sie die Amplitude, die Periode, die Wertemenge und die kleinste positive Nullstelle von f an.

Aufgabe 5

Bei der Bearbeitung der folgenden Teilaufgaben kannst du das nachfolgende GeoGebra-Applet zur Unterstützung nutzen.

Aufgabe 5.1

Eine Funktion f hat die Amplitude 1,5, die Periode π und die Wertemenge [−2; 1].[br]Gib zwei verschiedene Terme für f an.

Aufgabe 5.2

Eine Funktion g hat die Amplitude 2, die Periode [math]\frac{2}{3}[/math]π und die Wertemenge [0; 4]; außerdem gilt g(1) = 2.[br]Gib einen möglichen Term von g an.

Aufgabe 5.3

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion h: x ↦sin([math]\frac{1}{2}[/math]x) − 1.[list=a][*]Gib die kleinste positive Nullstelle von h an. Versuche, diesen Auftrag ohne Applet-Unterstützung zu bewerkstelligen.[/*][*]Gib alle Nullstellen von h an.[/*][/list]

Aufgabe 6

In der folgenden Abbildung erscheint durch Klicken auf die Schaltfläche „Neuer Graph“ der Graph einer Funktion der Form x ↦ a ∙ sin(b ∙ (x + c)) + d. Zu einem abgebildeten Graphen sollen die zugehörigen Werte für a, b, c und d (oder z. B. auch nur für a und d, vgl. Hinweis 1 unten) in den dafür vorgesehenen Feldern links oben eingegeben werden. Anschließend kann mithilfe der Schaltfläche „Lösung überprüfen“ getestet werden, ob die Eingaben richtig sind.[br]Hinweise:[list=1][*]Wenn du links oben den Haken vor einem Parameter wegklickst, wird selbiger fest vorgewählt (a = 1; b = 1; c = 0; d = 0) und muss nicht bestimmt werden. Tipp: Klicke zunächst b und evtl. noch einen weiteren Parameter weg.[/*][*]Die Parameter können nur folgende Werte annehmen:[list][*]a ∈ {0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3}[/*][*]b ∈ {0,5; 1; 1,5; 2}[/*][*]c ∈ {−3; −2,5; ...; 2,5; 3}[/*][*]d ∈ {−3; −2,5; ...; 1,5; 2}[br][/*][/list][/*][*]Zur Unterstützung kannst du eine Bezugsachse einblenden lassen. Setze dazu bei „Bezugsachse anzeigen“ einen Haken.[/*][*]Bei der Rückmeldung hinsichtlich der Korrektheit der Eingabe wird angezeigt, wie viele Parameterwerte korrekt sind. Möchtest du zugleich eine Rückmeldung darüber, welche der einzelnen Werte richtig sind, dann setze den Haken bei „Detaillierte Lösungsrückmeldung“.[br][/*][/list]