Az [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/yvhmvryt]összefoglalóban[/url] ezt írtuk:[br]     [br][list][*]Négy olyan pont van a háromszög síkjában, amelyek a háromszög oldalegyeneseitől egyenlő távolságra vannak. E négy pont közül egy a háromszög beírt körének, a további három a hozzáirt köreinek a középpontja.[/*][/list][br]A jól ismert szerkesztési feladatról elég megjegyeznünk, hogy a háromszög külső és belső szögeihez tartozó szögfelezői merőlegesek egymásra. A háromszög csúcsait nem számítva ezeknek négy metszéspontjuk van, melyek mindegyikére három-három szögfelező egyenes illeszkedik. Ezek a keresett körök középpontjai. A körök sugarait e pontoknak a háromszög bármelyik oldalától mért távolság határozza meg.

Erről ezt írtuk:[br][list] [*]Legfeljebb hány olyan pont van a térben, amely e a tetraéder négy lapsíkjától egyenlő távolságra van? Rajzoljuk meg azokat a gömböket, amelyek a tetraéder mind a négy lapsíkját érintik. [/*][/list][br]Az analógiát kihasználva megállapíthatjuk, hogy a tetraéder minden élére két lapsík illeszkedik, amelyekhez két-két egymásra merőleges szögfelezősík tartozik. Az így kapott nyolc síknak keressük meg a tetraéder éleitől különböző metszésvonalait, majd ezeknek a tetraéder csúcsaitól különböző metszéspontjait. [br]Ezek lesznek a keresett gömbök középpontjai.[br][br]Három belső szögfelező sík közös pontja lesz a beírt gömb középpontja, három-három külső szögfelező sík közös pontja lesz a tetraéder lapjait érintő négy gömb középpontja. Ha a négy adott pont (A, B, C, D) tetraédert alkot, akkor ez az 5 gömb minden esetben létezik. A tetraéder szemközti élpárjához [u]tartozhat [/u]még egy-egy további gömb, amelynek a középpontja e két élre illeszkedő belső, valamint a másik két élre illeszkedő külső szögfelező síkra illeszkedik. [br][br]Ilyen metszéspont azonban nem mindig jön létre. Pl. a szabályos tetraéderhez csak öt érintőgömb tartozik, a "nagyon" általános tetraéderhez ezeken kívül még az imént említett három. Vajon van-e olyan tetraéder, amelynek a síkjaihoz hat, vagy hét érintőgömb tartozik?

Ahhoz, hogy alaposan tanulmányozhassuk a tetraéder érintőgömbjeinek a témáját, elég sok jelölőnégyzetre ("pipára") és gombra volt szükségünk. Egy-egy beállításhoz a ◀ ▶ gombok nyújtanak segítséget egy követendő sorrendiséget sugallva, amelyt az [i]n[/i] sorszámmal jelezünk.[br][br][list=1][*]Az [i]ABCD[/i] tetraédert pontjaival adjuk meg, amelyek interaktívan mozgathatók, de megadhatók (és leolvashatók) a pontok koordinátáai a négy beviteli mezőben is. Emellett választhatunk négy gombbal előre megadott adatok között is. Erről később lesz szó. Az A, B, C, D betűkkel jelzett pipákkal kiválaszthatjuk, hogy mely csúccsal szemközti lapot ill. lapsíkot szeretnénk látni. [br][br][/*][*]A lapok és lapsíkok átlátszósága is szabályozható.[br][br][/*][*]A tetraéder [color=#1e84cc]belső[/color] és [color=#ff0000]külső[/color] lapszög-felező síkjai akkor láthatók, ha az A, B, C, D pipák közül legalább kettő true. Ezek átláthatósága nem szabályozható.[br][br][/*][*]A megjelenő gömb-középpontok, a lapszög-felező síkok közös pontjai. Hasonlóan a síkbeli esethez, könnyen igazolható, hogy minden (létező) gömb-középpontra négy ilyen szögfelező sík illeszkedik. [br]Ha a gömböket is láthatóvá tesszük, rendre megjelennek a gömbök egyenletei: [br][b] [color=#9900ff]G[/color][sub][color=#333333]1[/color][/sub][color=#9900ff]:[/color][/b] A tetraéder beírt gömbje. Középpontja a négy belső lapszög-szögfelező sík közös pontja.[br] [color=#00ffff]G[/color][sub]2[/sub][color=#00ffff]-G[/color][sub][color=#333333]5[/color][/sub][color=#00ffff]: [/color][color=#333333]A tetraéder négy lapját kívülről érintő gömbök. Középpontjukra rendre három külső és egy belső lapfelező-sík illeszkedik.[br][/color] [color=#333333][/color][color=#ff00ff]G[/color][color=#333333][sub]6[/sub][/color][color=#ff00ff]-G[/color][color=#333333][sub]8 [/sub]A tetraédert nem, csak a tetraéder lapsíkjait érintő gömbök. Középpontjaik rendre a tetraéder két-két szemközti él két belső és két külső lapszög-felező síkjaira illeszkednek. Ezek nem minden esetben léteznek.[br]Ha pl. a tetraéder szabályos, akkor ezek egyike sem létezik. ([b]5.[/b] gomb.) [br]Könnyen előállítható olyan (ABCD) tetraéder, amelynek összesen hat érintőgömbje van. ([b]6[/b] gomb.) Bemutatunk egy olyan tetraédert, amelynek bár létezik mind a nyolc érintőgömbje, de egynek igen távoli a középpontja és nagy a sugara. ([b]7?[/b] gomb.) Olvasóinkra bízzuk egy olyan tetraéder csúcsainak a megadását, amelynek pontosan hét érintőgömbje van. [br]A "teljesen" általános esetben sem könnyű olyan tetraédert megadni, amelyben a legnagyobb és legkisebb érintőgömb sugarainak az aránya nem túl nagy. ([b]8[/b] gomb.) [br][/color][color=#333333][br][/color][/*][*][color=#333333]Az A, B, C, D pipák ki-be kapcsolásával meggyőződhetünk arról, hogy a kapott gömbök valóban érintik mind a négy megadott síkot. Érdekes megvizsgálni, hogy egy-egy siknak hány érintőgömb esik az egyik ill. másik félterébe.[br][br][/color][/*][*][color=#333333]A tetraéder négy csúcsa és a lapjait kívülről érintő [color=#00ffff][/color]G[sub]2[/sub]-G[sub][color=#333333]5[/color][/sub] gömb középpontja meghatároz egy [/color][url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/nrvbvefm]projektív kockát[/url], amely valóban kocka, ha az adott tetraéder szabályos. [br]Így nem meglepő, hogy a tetraéder csúcsai és a kapott érintőgömbök középpontjai, valamint a szögfelező síkok metszésvonalai egy[b](12[sub]4[/sub],16[sub]3[/sub])[/b] típusú pont-egyenes konfigurációt alkotnak.[/*][/list]