[b][color=#0000ff]공리 5[/color].[/b] 임의의 두 점[math]P_1[/math], [math]P_2[/math] 와 임의의 직선[math]l_1[/math] 이 주어질 때, 점 [math]P_1[/math]을 지나며 점 [math]P_2[/math]를 직선 [math]l_1[/math]에 겹치도록 하는 직선을 접을 수 있다.

[b][color=#0000ff]공리 5[/color].[/b] 부터는 조금 독특하다. 위의 그림처럼 점 [math]P_1[/math]과 [math]P_2[/math]가 위치하는 경우 접는 방법이 2가지이다.

이것은 점 [math]P_1[/math]을 중심으로 하고 선분 [math]P_1P_2[/math]을 반지름 갖는 원과 직선 [math]l_1[/math]과의 교점이 바로 [math]P_2[/math]의 대칭점이기 때문이다.

여기에서 [b][color=#ff0000]주의할 점[/color][/b]이 생긴다. [b]원과 직선의 교점[/b]은 [b]0~2개[/b]이다. [br][br]즉, 이 공리의 [b]접는 선[/b]은 위의 예처럼 [b]2개[/b]가 나올 수도 있지만, [b]유일[/b]할 수 도 있고 아예 [b]없을 수 도[/b] 있다.

[br]조금 더 깊이 들어가보자. [br][br][b][color=#0000ff]공리 5. 변형[/color][/b] 임의의 점 [math]P_1[/math]와 임의의 직선 [math]l_1[/math]이 있을 때, 점 [math]P_1[/math]와 임의의 직선 [math]l_1[/math] 위 어디로든 옮기는 것이 가능하다. [br][br]이는 점 [math]P_1[/math]를 을 중심으로 하고 직선 [math]l_1[/math] 위의 한 점을 지나는 원을 언제든지 그릴 수 있기 때문이다.

그런데 접는 선의 자취를 표시하면 아래처럼 나타나는 것을 볼 수 있다. 접는 선의 자취가 어떤 곡선의 접선을 만들고 있다.

[br]이 곡선이 바로 포물선이다. 이 때, 점 [math]P_1[/math]는 포물선의 초점이 되고, 직선 [math]l_1[/math] 은 포물선의 준선이 된다. [br][br] 즉, 점 [math]P_1[/math]를 임의의 직선 [math]l_1[/math] 위로 겹치도록 접는 행동은 포물선 그리고 그 접선을 만드는 행동이 된다.

[br][br]임의의 한 점을 임의의 직선에 겹쳐지도록 접을 때 항상 포물선이 존재하다는 것을 [b][color=#0000ff]공리 5.[/color][/b]의 상황에 적용해보자.[br][br]편의상 직선 [math]l_1[/math]이 정사각형의 밑변과 평행하다고 가정하자. 이때 점 [math]P_2[/math]를 초점으로 하고 직선[math]l_1[/math]을 준선으로 하는 포물선 [math]p[/math]가 존재하며, 공리 5.에서 언급하는 접는 선은 점 [math]P_1[/math]을 지나는 포물선 [math]p[/math]의 접선이 된다.

따라서 점 [math]P_1[/math]이 포물선 [math]p[/math]보다 아래에 있는 경우 접선은 2개를 그릴 수 있고, 점[math]P_1[/math]이 포물선 [math]p[/math]위에 있는 경우 접선는 1개를 그릴 수 있으며, 점 [math]P_1[/math]이 포물선 [math]p[/math] 보다 위에 있는 경우에는 접선을 그릴 수 없음을 확인할 수 있다.